Какова длина стороны AB треугольника ABC, если угол A равен 90°, АС равно 15, а косинус угла A равен 0,75?

Vitalyevna

70

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему косинусов. Согласно теореме косинусов, мы можем найти длину стороны AB, используя следующую формулу:

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos (A)$$

Где AB - длина стороны AB, AC - длина стороны AC, BC - длина стороны BC, а A - угол между сторонами AC и BC.

В нашем случае угол A равен 90°, AC равно 15, а косинус угла A равен 0,75. Заменим эти значения в формуле:

$$A{B}^2={15}^2+B{C}^2-2\cdot 15\cdot BC\cdot 0,75$$

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (BC), которое мы можем решить.

Упростим уравнение:

$$A{B}^2=225+B{C}^2-22.5\cdot BC$$

Теперь решим это уравнение. Поскольку мы ищем длину стороны, мы хотим найти значение AB. Перенесем все переменные в одну часть уравнения:

$$B{C}^2-22.5\cdot BC+225-A{B}^2=0$$

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение относительно BC, используя квадратное уравнение классическим способом или формулой квадратного корня. Решим это уравнение:

$$BC=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Где a = 1, b = -22.5 и c = 225 - AB^2

Подставим значения a, b и c в формулу:

$$BC=\frac{-(-22.5)\pm \sqrt{(-22.5{)}^2-4\cdot 1\cdot (225-A{B}^2)}}{2\cdot 1}$$

Упростим выражение:

$$BC=\frac{22.5\pm \sqrt{(-22.5{)}^2-(900-4A{B}^2)}}{2}$$

$$BC=\frac{22.5\pm \sqrt{506.25-900+4A{B}^2}}{2}$$

$$BC=\frac{22.5\pm \sqrt{-393.75+4A{B}^2}}{2}$$

Как видно из этого выражения, ответ будет зависеть от значения выражения под корнем. Обратите внимание, что это выражение должно быть неотрицательным, чтобы иметь физический смысл. Давайте рассмотрим два возможных случая:

1. Если $-393.75+4A{B}^2\ge 0$, то мы можем извлечь корень из этого выражения:

$$BC=\frac{22.5\pm \sqrt{-393.75+4A{B}^2}}{2}$$

2. Если $-393.75+4A{B}^2<0$, то это значит, что значения под корнем отрицательные, и решение не имеет физического смысла. В таком случае, длина стороны AB треугольника ABC будет невозможно определить.

Таким образом, длина стороны AB будет равна:

$$AB=\frac{22.5+\sqrt{-393.75+4A{B}^2}}{2}$$

Однако, без дополнительной информации о значении выражения под корнем, мы не можем точно определить длину стороны AB треугольника ABC. Мы можем только представить ее в виде решения уравнения.