Какова длина стороны AB треугольника ABC, если угол A равен 90°, АС равно 15, а косинус угла A равен 0,75?

Vitalyevna

70

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему косинусов. Согласно теореме косинусов, мы можем найти длину стороны AB, используя следующую формулу:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(A)\]

Где AB - длина стороны AB, AC - длина стороны AC, BC - длина стороны BC, а A - угол между сторонами AC и BC.

В нашем случае угол A равен 90°, AC равно 15, а косинус угла A равен 0,75. Заменим эти значения в формуле:

\[AB^2 = 15^2 + BC^2 - 2 \cdot 15 \cdot BC \cdot 0,75\]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (BC), которое мы можем решить.

Упростим уравнение:

\[AB^2 = 225 + BC^2 - 22.5 \cdot BC\]

Теперь решим это уравнение. Поскольку мы ищем длину стороны, мы хотим найти значение AB. Перенесем все переменные в одну часть уравнения:

\[ BC^2 - 22.5 \cdot BC + 225 - AB^2 = 0 \]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение относительно BC, используя квадратное уравнение классическим способом или формулой квадратного корня. Решим это уравнение:

\[ BC = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где a = 1, b = -22.5 и c = 225 - AB^2

Подставим значения a, b и c в формулу:

\[ BC = \frac{-(-22.5) \pm \sqrt{(-22.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (225 - AB^2)}}{2 \cdot 1} \]

Упростим выражение:

\[ BC = \frac{22.5 \pm \sqrt{(-22.5)^2 - (900 - 4AB^2)}}{2} \]

\[ BC = \frac{22.5 \pm \sqrt{506.25 - 900 + 4AB^2}}{2} \]

\[ BC = \frac{22.5 \pm \sqrt{-393.75 + 4AB^2}}{2} \]

Как видно из этого выражения, ответ будет зависеть от значения выражения под корнем. Обратите внимание, что это выражение должно быть неотрицательным, чтобы иметь физический смысл. Давайте рассмотрим два возможных случая:

1. Если \(-393.75 + 4AB^2 \geq 0\), то мы можем извлечь корень из этого выражения:

\[ BC = \frac{22.5 \pm \sqrt{-393.75 + 4AB^2}}{2} \]

2. Если \(-393.75 + 4AB^2 < 0\), то это значит, что значения под корнем отрицательные, и решение не имеет физического смысла. В таком случае, длина стороны AB треугольника ABC будет невозможно определить.

Таким образом, длина стороны AB будет равна:

\[ AB = \frac{22.5 + \sqrt{-393.75 + 4AB^2}}{2} \]

Однако, без дополнительной информации о значении выражения под корнем, мы не можем точно определить длину стороны AB треугольника ABC. Мы можем только представить ее в виде решения уравнения.