Какова длина стороны AB треугольника ABC, если угол C, который вписан в окружность радиусом 3, равен 45 градусов?

Skrytyy_Tigr

56

Чтобы найти длину стороны AB треугольника ABC, мы можем использовать свойства окружности и теорему синусов.

У нас есть информация о вписанном угле C и радиусе окружности, поэтому мы можем рассмотреть треугольник COA, где O - центр окружности, а A и C - точки касания окружности с треугольником ABC.

Т.к. угол C равен 45 градусов, а угол OAC - прямой (т.к. OA - радиус), то угол OCA тоже равен 45 градусов. Таким образом, треугольник OCA является равнобедренным, а значит, стороны OC и OA равны между собой.

Если мы нарисуем высоту CH из вершины C к основанию AO, то получится прямоугольный треугольник OCH с углом OCH в 90 градусов.

Теперь, чтобы найти длину стороны AB треугольника ABC, нам потребуется знать длину отрезка OC и отрезка OH.

Для начала, найдем длину отрезка OC. По определению окружности, радиус OC равен 3.

Теперь перейдем к отрезку OH. Т.к. треугольник OCH прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины отрезка OH.

По теореме Пифагора: \(OH^2 = OC^2 - CH^2\).
Т.к. OC равно 3 (радиус окружности), CH - это высота, которая равна радиусу окружности, следовательно CH = 3.

Подставляя значения в уравнение, получаем:
\(OH^2 = 3^2 - 3^2\),
\(OH^2 = 9 - 9\),
\(OH^2 = 0\).

Теперь, когда известна длина отрезка OH (равная 0), мы можем вычислить длину отрезка AH, суммируя длины отрезков OH и HA (равный радиусу окружности, т.е. 3): AH = OH + HA = 0 + 3 = 3.

Таким образом, длина стороны AB треугольника ABC равна 3 единицам длины.