Какова длина стороны AB треугольника ABC, если угол C, вписанный в окружность с радиусом 12, равняется 30°?

Pizhon

51

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о свойствах вписанных углов и окружностей.

Во-первых, давайте рассмотрим сначала свойство вписанных углов. Угол, который опирается на дугу вписанного угла, равен половине этой дуги. То есть, если угол C вписан в окружность с радиусом 12, то дуга AB, на которую опирается этот угол, будет составлять 60°.

Теперь обратимся к свойству окружностей. Центральный угол, который опирается на дугу окружности, равен удвоенному углу, опирающемуся на эту же дугу. Это означает, что угол BOC, где O - центр окружности, будет равен 2 угла CAB.

Так как угол CAB равен половине дуги AB, а дуга AB составляет 60°, то угол CAB равен 30°. Следовательно, угол BOC равен 2 * 30° = 60°.

Однако нам нужно найти длину стороны AB, а не угол BOC. Для этого мы используем связь между центральным углом и длиной дуги окружности. Центральный угол также равен отношению длины дуги к радиусу окружности.

Длина дуги AB, на которую опирается угол BOC, равна 60°. Радиус окружности задан как 12. Теперь мы можем использовать формулу для нахождения длины дуги:

\[Длина\ дуги = \frac{Угол\ в\ градусах}{360°} \times 2\pi \times Радиус\]

Подставив значения, получим:

\[Длина\ дуги AB = \frac{60}{360} \times 2\pi \times 12\]

Упрощая выражение, получаем:

\[Длина\ дуги AB = \frac{1}{6} \times 2\pi \times 12\]

\[Длина\ дуги AB = \frac{1}{6} \times 24\pi = 4\pi\]

Теперь мы знаем длину дуги AB, но нам нужно найти длину стороны AB. Длина стороны AB равна половине длины дуги AB находится как половина от длины дуги AB:

\[Длина\ стороны\ AB = \frac{Длина\ дуги\ AB}{2}\]

Подставив значение, получим:

\[Длина\ стороны\ AB = \frac{4\pi}{2} = 2\pi\]

Таким образом, длина стороны AB треугольника ABC равна \(2\pi\) (или приближенно 6.28, если мы ввести числовое значение радиуса).