Какова длина стороны bc треугольника abc, если длина стороны ac равна 46,2 см и угол b равен 30°?

Luna_V_Ocheredi_1549

38

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать тригонометрические соотношения. Мы знаем длину стороны ac (46,2 см) и угол b (30°).

Шаг 1: Найдем длину стороны bc при помощи теоремы косинусов. Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где c - длина стороны, противолежащей углу C, а a и b - длины двух других сторон треугольника.

В нашем случае, мы ищем длину стороны bc, поэтому это будет наша сторона c, длина стороны ac будет a, и длина стороны ab будет b.

Подставляя известные значения в формулу, получим:

\[bc^2 = ac^2 + ab^2 - 2 \cdot ac \cdot ab \cdot \cos(b)\]

\[bc^2 = 46,2^2 + ab^2 - 2 \cdot 46,2 \cdot ab \cdot \cos(30°)\]

Шаг 2: Найдем длину стороны ab, используя формулу синусов. Формула синусов гласит:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

где a, b и c - длины сторон треугольника, A, B и C - соответствующие им противолежащие углы.

В нашем случае, мы знаем угол b (30°) и длину стороны ac (46,2 см).

Подставляя значения в формулу, получим:

\[\frac{46,2}{\sin(30°)} = \frac{ab}{\sin(90°)}\]

\[\frac{46,2}{\frac{1}{2}} = ab\]

\[ab = 46,2 \cdot \frac{1}{2}\]

\[ab = 23,1\]

Шаг 3: Теперь мы можем вернуться к нашей первоначальной формуле и подставить найденное значение ab:

\[bc^2 = 46,2^2 + (23,1)^2 - 2 \cdot 46,2 \cdot 23,1 \cdot \cos(30°)\]

\[bc^2 = 46,2^2 + (23,1)^2 - 2 \cdot 46,2 \cdot 23,1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[bc^2 = 2133,64 + 534,61 - 46,2 \cdot 23,1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[bc^2 = 2668,25 - 23,1 \cdot 46,2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Шаг 4: Выполним расчеты:

\[bc^2 = 2668,25 - 23,1 \cdot 46,2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

(Я округляю значения для удобства)

\[bc^2 = 2668,25 - 23,1 \cdot 46,2 \cdot 0,866\]

\[bc^2 = 2668,25 - 889,6\]

\[bc^2 = 1778,65\]

Применяя квадратный корень, получим:

\[bc = \sqrt{1778,65}\]

\[bc ≈ 42,16\]

Таким образом, длина стороны bc треугольника abc составляет примерно 42,16 см. Убедитесь, что округлите ответ в соответствии с требованиями задачи.