Какова длина стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды, если плоскости двух несмежных боковых граней

Yantarnoe

19

Чтобы найти длину стороны основания правильной четырехугольной пирамиды, у нас есть несколько интересных сведений.

Во-первых, мы знаем, что плоскости двух несмежных боковых граней взаимно перпендикулярны. Это означает, что каждая из этих граней составляет прямой угол друг с другом.

Во-вторых, дано, что апофема пирамиды равна \(4\sqrt{2}\). Апофема - это отрезок, соединяющий вершину пирамиды и середину противолежащей стороны основания.

Правильная четырехугольная пирамида имеет основание в форме квадрата, поэтому все стороны основания равны друг другу.

Представим, что сторона основания равна \(x\). Тогда, давайте применим теорему Пифагора к боковой стороне пирамиды (прямая сторона, соединяющая вершину пирамиды и центр противоположной стороны основания) и апофеме:

\[
\begin{align*}
(\text{боковая сторона})^2 &= (\text{основание}/2)^2 + (\text{апофема})^2 \\
x^2 &= \left(\frac{x}{2}\right)^2 + (4\sqrt{2})^2 \\
x^2 &= \frac{x^2}{4} + 32 \\
\frac{3}{4}x^2 &= 32 \\
x^2 &= \frac{32}{\frac{3}{4}} \\
x^2 &= \frac{32 \cdot 4}{3} \\
x^2 &= \frac{128}{3}
\end{align*}
\]

Таким образом, длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды составляет \(\frac{\sqrt{128}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).

Окончательный ответ: длина стороны основания равна \(\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).