Какова длина стороны правильного четырехугольника, вокруг которого описан круг площадью 2 Пи см2?

Акула

38

Давайте решим данную задачу по порядку. Для начала, давайте вспомним некоторые свойства правильного четырехугольника и описанного вокруг него круга.

Правильный четырехугольник - это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы равны 90 градусов. Обозначим длину стороны правильного четырехугольника через \(a\).

Зная площадь круга, мы можем найти его радиус (\(R\)) с помощью формулы для площади круга: \(\pi R^2 = 2 \pi\). Делим обе части уравнения на \(\pi\) и извлекаем квадратный корень: \(R = \sqrt{2}\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник, который образуется одной из диагоналей правильного четырехугольника и радиусом окружности. Данный треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником, так как две его стороны (\(R\) и \(a/2\)) равны, а угол между ними равен 90 градусов.

Используя свойства равнобедренного прямоугольного треугольника, мы можем найти длину основания (длину стороны четырехугольника) \(a\). Из уравнения Пифагора вида \(c^2 = a^2 + b^2\) (где \(c\) - гипотенуза, а \(a\) и \(b\) - катеты) для нашего треугольника следует: \((a/2)^2 + (a/2)^2 = (\sqrt{2})^2\).

Раскрываем скобки и упрощаем: \(\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = 2\). Складываем дроби: \(\frac{2a^2}{4} = 2\). Упрощаем дробь, деляч и числитель, и знаменатель на 2: \(\frac{a^2}{2} = 2\). Умножаем обе части уравнения на 2: \(a^2 = 4\).

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: \(a = \sqrt{4}\). Ответ: \(a = 2\).

Таким образом, длина стороны правильного четырехугольника, вокруг которого описан круг площадью 2 Пи см\(^2\), равна 2 см.