Какова длина стороны правильного двенадцатиугольника, вписанного в ту же окружность, если сторона правильного

Mishka

64

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать некоторые свойства правильных многоугольников и тригонометрии.

Нарисуем правильный двенадцатиугольник, вписанный в окружность, и подпишем его стороны и углы:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Номер вершины} & \text{Название стороны} & \text{Измерение угла (в градусах)} \\
\hline
1 & AB & \\
\hline
2 & BC & \\
\hline
3 & CD & \\
\hline
4 & DE & \\
\hline
5 & EF & \\
\hline
6 & FG & \\
\hline
7 & GH & \\
\hline
8 & HI & \\
\hline
9 & IJ & \\
\hline
10 & JK & \\
\hline
11 & KL & \\
\hline
12 & LA & \\
\hline
\end{array}
\]

Для определения длины стороны правильного двенадцатиугольника, нам необходимо найти длину одной из его сторон, например, стороны \(AB\).

Расположим двенадцать сторон вокруг центра окружности. Поскольку стороны проходят через центр окружности, они равноудалены от него. Таким образом, можно нарисовать радиус \(OA\) до середины стороны \(AB\).

Теперь обратимся к треугольнику \(OAB\), где \(O\) - центр окружности. Поскольку \(OA\) - радиус окружности, а сторона \(AB\) - сторона правильного шестиугольника, мы можем применить тригонометрическое соотношение для нахождения \(AB\).

В правильном шестиугольнике, все углы равны 120 градусам. Поскольку треугольник \(OAB\) - прямоугольный, угол \(OAB\) равен половине угла шестиугольника, то есть 60 градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрическую функцию косинуса, чтобы найти длину стороны \(AB\). Формула для косинуса угла равна:

\[
\cos(\text{угол}) = \frac{{\text{противоположная сторона}}}{{\text{гипотенуза}}}
\]

В нашем случае, у нас есть угол \(OAB\) равный 60 градусам и радиус \(OA\) равный длине стороны шестиугольника (1). Мы ищем длину стороны \(AB\), поэтому \(AB\) будет являться противоположной стороной, а \(OA\) будет гипотенузой.

Заменим значения в формуле и решим ее:

\[
\cos(60) = \frac{{AB}}{{1}} \Rightarrow AB = 1 \cdot \cos(60)
\]

Чтобы получить ответ с точностью до второго знака после запятой, мы можем использовать значение косинуса 60 градусов, которое равно \(0.5\).

Подставим это значение и вычислим:

\[
AB = 1 \cdot 0.5 = 0.5
\]

Таким образом, длина стороны правильного двенадцатиугольника, вписанного в ту же окружность, равна 0.5 с точностью до второго знака после запятой.