На гипотенузе прямоугольного треугольника проведена высота. Какая доля гипотенузы отрезается этой высотой?

Matvey

7

Конечно! Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

В данной задаче мы имеем прямоугольный треугольник, на котором проведена высота. Давайте обозначим стороны треугольника следующим образом: пусть \(a\) и \(b\) - это катеты, а \(c\) - гипотенуза. Также пусть \(h\) - это длина проведенной высоты.

Используя теорему Пифагора, мы можем составить уравнение:

\[ c^2 = a^2 + b^2. \]

Так как на гипотенузе проведена высота, то она является перпендикуляром к гипотенузе и разделяет ее на два отрезка. Обозначим один из отрезков как \(x\), а другой как \(y\). Тогда мы можем записать:

\[ c = x + y. \]

Так как высота является перпендикуляром к гипотенузе, мы можем использовать геометрическое свойство подобных треугольников. По этому свойству, соотношение между длинами отрезков на гипотенузе и катетах треугольника равно:

\[ \frac{x}{a} = \frac{h}{b}. \]

Решим это уравнение относительно \(x\):

\[ x = \frac{ah}{b}. \]

Теперь можем найти значение \(y\) подставив \(x\) в уравнение \(c = x + y\):

\[ c = \frac{ah}{b} + y. \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \quad \text{и} \quad c = \frac{ah}{b} + y. \]

Мы можем использовать эти уравнения для нахождения \(y\). Для этого выразим \(y\) из второго уравнения и подставим его в первое:

\[ c = \frac{ah}{b} + y \implies y = c - \frac{ah}{b}. \]

Подставим это значение \(y\) в уравнение \(c^2 = a^2 + b^2\):

\[ c^2 = a^2 + b^2 \implies c^2 = a^2 + b^2 = \left(\frac{ah}{b} + y\right)^2. \]

Раскроем скобки:

\[ c^2 = \left(\frac{ah}{b} + y\right)^2 = \left(\frac{ah}{b}\right)^2 + 2\left(\frac{ah}{b}\right)y + y^2. \]

Упростим это уравнение:

\[ c^2 = \frac{a^2h^2}{b^2} + 2\frac{ah}{b}y + y^2. \]

Подставим обратно значение \(y = c - \frac{ah}{b}\):

\[ c^2 = \frac{a^2h^2}{b^2} + 2\frac{ah}{b}\left(c - \frac{ah}{b}\right) + \left(c - \frac{ah}{b}\right)^2. \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ c^2 = \frac{a^2h^2}{b^2} + 2\frac{ahc}{b} - 2\left(\frac{ah}{b}\right)^2 + c^2 - 2\frac{ahc}{b} + \left(\frac{ah}{b}\right)^2. \]

Упростим это уравнение:

\[ 0 = 2\frac{a^2h^2}{b^2} - 2\left(\frac{ah}{b}\right)^2. \]

Делаем несколько упрощений:

\[ 0 = \frac{2a^2h^2 - 2a^2h^2}{b^2} = 0. \]

Итак, получили равенство \(0 = 0\), которое всегда выполняется.

Из этого следует, что доля гипотенузы, отрезанная высотой, равна \(\frac{ah}{b}\).

Таким образом, ответ на задачу составляет \(\frac{ah}{b}\) доли гипотенузы.