Какова длина стороны правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, в которую он вписан и имеющего сторону

Карамель

12

Для решения этой задачи следует использовать знания о свойствах правильных шестиугольников, вписанных в окружность.

Правильный шестиугольник – это многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны 120 градусам.

Также, для правильного шестиугольника вписанного в окружность, сумма всех его внешних углов всегда равна 360 градусам.

Пусть сторона правильного шестиугольника равна \(a\). Так как внешний угол правильного шестиугольника равен 360 градусам / 6 углов = 60 градусов, можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями для прямоугольного треугольника.

Рассмотрим одну из внешних диагоналей правильного шестиугольника, она соединяет центр окружности с одним из его углов. Так как диагональ образует прямой угол с радиусом окружности, мы можем применить теорему пифагора для нахождения длины диагонали.

По теореме пифагора,
\[a^2 = r^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 \text{,}\]
где \(r\) - радиус описанной окружности.

Далее, используя соотношение между радиусом и диаметром окружности (\(d = 2r\)), можно переписать уравнение:
\[a^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \text{.}\]

Так как длина стороны \(a\) известна, остается найти диаметр \(d\) описанной окружности.

Для этого воспользуемся связью между окружностью и правильным шестиугольником. Окружность описана вокруг шестиугольника, значит, ее диаметр равен длине диагонали правильного шестиугольника.

Для нахождения диагонали, применим теорему пифагора:
\[d^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \text{.}\]

Теперь, имея два уравнения, можно решить систему уравнений и найти значения для \(a\) и \(d\).

Для этого вычтем из первого уравнения второе:
\[a^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 \text{.}\]

Приведя подобные слагаемые, получим:
\[a^2 - \frac{d^2}{4} = \frac{d^2}{4} - \frac{a^2}{4}\text{.}\]

Объединяя слагаемые с \(a^2\) в левой части и с \(d^2\) в правой, получим:
\[2a^2 = \frac{5d^2}{4}\text{.}\]

Теперь можно выразить диаметр \(d\) через сторону \(a\):
\[d = \frac{2a}{\sqrt{5}}\text{.}\]

Используя полученное соотношение можно выразить длину стороны \(a\) через диаметр \(d\):
\[a = \frac{d\sqrt{5}}{2}\text{.}\]

Это уравнение связывает длину стороны \(a\) с диаметром \(d\) описанной окружности.

Таким образом, сторона правильного шестиугольника описанного вокруг окружности равна \(\frac{d\sqrt{5}}{2}\).

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном решении мы использовали геометрические свойства и теорему пифагора для решения задачи. Если возникнут вопросы или нужны дополнительные пояснения по шагам, пожалуйста, сообщите мне. Я готов помочь!