Какова длина стороны правильного треугольника, описанного около окружности, в которую вписан правильный четырёхугольник

Darya_9624

64

Для начала, давайте разберемся с определениями, чтобы понять, что такое правильный треугольник и правильный четырехугольник.

Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы равны 60 градусам.

Правильный четырехугольник - это четырехугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы равны 90 градусам.

Теперь решим задачу. Пусть сторона правильного треугольника равна \(x\). Также, поскольку четырехугольник вписан в окружность, его диагонали равны между собой и являются диаметрами окружности.

Диагонали четырехугольника являются его перпендикулярными диагоналями. Таким образом, каждая диагональ четырехугольника равна \(x\sqrt{2}\) (так как это прямоугольный треугольник и по теореме Пифагора \(h^2 = x^2 + x^2 = 2x^2\), откуда \(h = \sqrt{2}x\)).

Также известно, что диагонали четырехугольника являются диаметрами окружности, описанной вокруг треугольника. Поэтому диаметр окружности также равен \(x\sqrt{2}\).

Чтобы найти длину стороны треугольника, описанного около данной окружности, нужно найти радиус окружности. Радиус окружности равен половине диаметра:

\[r = \frac{x\sqrt{2}}{2} = \frac{x}{\sqrt{2}}.\]

Так как правильный треугольник можно рассматривать как треугольник, в котором радиус окружности является высотой, а также медианой, пересекающей вершину треугольника и делящей сторону пополам, то при помощи теоремы Пифагора для этого треугольника "сторона-высота-радиус окружности" можно найти длину стороны треугольника:

\[x^2 = r^2 + r^2 = 2r^2.\]

Подставив значение \(r = \frac{x}{\sqrt{2}}\), получаем:

\[x^2 = 2\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2\cdot\frac{x^2}{2} = x^2.\]

Это означает, что сторона правильного треугольника, описанного около окружности, в которую вписан правильный четырехугольник со стороной \(x\), равна \(x\).

Таким образом, ответ на задачу - длина стороны правильного треугольника равна \(x\).