Какова длина стороны равностороннего треугольника, в котором радиус вписанной окружности равен 5 корней

Sumasshedshiy_Reyndzher

68

Для начала разберёмся, что такое равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны между собой. В каждом равностороннем треугольнике можно вписать окружность, которая будет касаться всех сторон треугольника.

Теперь рассмотрим ситуацию с вписанной окружностью радиусом 5 корней. Вписанная окружность треугольника касается всех трех сторон треугольника внутренним образом. Заметим, что каждая точка касания создает радиус вписанной окружности, который перпендикулярен к соответствующей стороне треугольника.

Поделим треугольник на три равнобедренных треугольника. Каждый из этих треугольников имеет сторону, равную радиусу вписанной окружности. Теперь мы можем посмотреть на один из этих равнобедренных треугольников.

В равнобедренном треугольнике угол при вершине, противоположной равным сторонам, является равным углом. Поскольку равносторонний треугольник имеет все стороны равными, все углы треугольника равны 60 градусам.

Поделим наш равнобедренный треугольник вертикальной линией на два прямоугольных треугольника. Углы этих прямоугольных треугольников равны 30 градусов и 60 градусов. Теперь мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти длину стороны равностороннего треугольника.

В равнобедренном треугольнике, опирающемся на угол 30 градусов, мы знаем, что соотношение длины катета к гипотенузе равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Здесь гипотенуза - это сторона равностороннего треугольника, а катет - эта сторона равнобедренного треугольника, равная радиусу вписанной окружности.

У нас есть уравнение \(\frac{\text{длина стороны равностороннего треугольника}}{5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Чтобы найти длину стороны равностороннего треугольника, умножим обе части уравнения на \(5\sqrt{3}\). Это даёт нам \(\text{длина стороны равностороннего треугольника} = \frac{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2} = 7.5\).

Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника, в котором радиус вписанной окружности равен 5 корням, составляет 7.5.