Какова длина траектории, по которой движется робот-чертежник? Он перемещается по ровной горизонтальной поверхности

Солнечный_Бриз

10

Для решения этой задачи нам необходимо сначала найти сумму длин всех полуокружностей, сохраненных роботом-чертежником.
Пусть \( r \) - радиус наименьшей полуокружности (1 метр).
Тогда радиус следующей полуокружности будет \( 2r \), следующей - \( 4r \), потом \( 8r \) и так далее.

Таким образом, сумма длин всех полуокружностей будет обозначаться \( S \).

Мы можем записать \( S \) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом \( 2\pi r \) и знаменателем 2.
Тогда формула для суммы геометрической прогрессии будет выглядеть следующим образом:

\[ S = \frac{2\pi r}{1 - \frac{1}{2}} \]

Упростим эту формулу:

\[ S = 4\pi r \]

Теперь, чтобы найти длину траектории, по которой движется робот-чертежник, нам нужно сложить длину полуокружности (\( \pi d \)), где \( d \) - диаметр каждой полуокружности.

Поскольку диаметр наименьшей полуокружности равен 1 метру, длина этой полуокружности составляет \( \pi \cdot 1 = \pi \) метров.

Сумма длин всех полуокружностей будет:

\[ S_1 = \pi + 2\pi + 4\pi + 8\pi + \ldots \]

Это также является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом \( \pi \) и знаменателем 2.

Формула для суммы такой прогрессии будет:

\[ S_1 = \frac{\pi}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \]

Теперь мы можем найти общую длину траектории, сложив длину прямолинейного участка (1 метр), и сумму длин всех полуокружностей:

\[ L = 1 + S_1 = 1 + 2\pi \]

Однако мы хотим выразить ответ в сантиметрах, поэтому умножим общую длину траектории на 100:

\[ L_{\text{см}} = (1 + 2\pi) \times 100 \]

Выполним расчет:

\[ L_{\text{см}} = (1 + 2\pi) \times 100 \approx 628 \]

Итак, длина траектории, по которой движется робот-чертежник, составляет примерно 628 сантиметров.