Какова длина третьей стороны треугольника, если две известные стороны равны 6 см и 4√2, а угол между ними составляет

Солнечный_Феникс

3

Чтобы найти длину третьей стороны треугольника, воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где \(c\) - третья сторона треугольника, \(a\) и \(b\) - известные стороны, а \(C\) - угол между заданными сторонами.

В нашем случае, известные стороны равны 6 см и 4√2, а угол между ними составляет 135 градусов. Подставив эти значения в формулу, получим:

\[c^2 = 6^2 + (4√2)^2 - 2 \cdot 6 \cdot (4√2) \cdot \cos(135^\circ)\]

Вычислим значение выражения в скобках:

\[\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Подставим это значение обратно в формулу:

\[c^2 = 6^2 + (4√2)^2 - 2 \cdot 6 \cdot (4√2) \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

Вычислим значение выражения:

\[c^2 = 36 + 32 - 48 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

Сократим выражение:

\[c^2 = 68 + 48\sqrt{2}\]

Для нахождения длины третьей стороны, возьмем квадратный корень из полученного значения:

\[c = \sqrt{68 + 48\sqrt{2}}\]

Теперь давайте найдем площадь этого треугольника. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника по сторонам и углу между ними:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - известные стороны, а \(C\) - угол между ними.

Подставим известные значения в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (4√2) \cdot \sin(135^\circ)\]

Вычислим значение синуса угла:

\[\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Подставим это значение обратно в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (4√2) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

Упростим выражение:

\[S = 3 \cdot (4√2)^2 \cdot \sqrt{2}\]

Вычислим значение выражения в скобках:

\[S = 3 \cdot 16 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}\]

Упростим выражение:

\[S = 96 \cdot \sqrt{2}\]

Ответ:
Длина третьей стороны треугольника равна \(\sqrt{68 + 48\sqrt{2}}\) см.
Площадь этого треугольника равна \(96 \cdot \sqrt{2}\) кв.см.