Какова длина третьей стороны треугольника и какова его площадь, если известно, что две стороны равны 8 см и 4√3

Lunnyy_Homyak

3

Для решения данной задачи, нам понадобятся правила тригонометрии и формулы площади треугольника.

Итак, у нас задано две стороны треугольника: одна равна 8 см, а другая равна 4√3 см. Также мы знаем, что угол между этими сторонами составляет 30 градусов.

Для определения длины третьей стороны треугольника, мы можем использовать теорему косинусов. Формула выглядит следующим образом:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C)$$

где c - третья сторона треугольника, a и b - известные стороны, C - угол между ними.

Подставим известные значения в формулу:

$$c^2=(8{)}^2+(4\sqrt{3}{)}^2-2\cdot 8\cdot 4\sqrt{3}\cdot \cos (30°)$$

$$c^2=64+48-64\sqrt{3}\cdot \cos (30°)$$

Теперь вычислим значение с помощью калькулятора:

$$c^2\approx 96-64\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$c^2\approx 96-96\sqrt{3}$$

$$c\approx \sqrt{96-96\sqrt{3}}$$

$$c\approx \sqrt{48(2-\sqrt{3})}$$

$$c\approx \sqrt{48}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$$

$$c\approx 4\sqrt{3}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}\approx 4\sqrt{6-4\sqrt{3}}\approx 4\sqrt{6}-4\sqrt{3}$$

Таким образом, длина третьей стороны треугольника составляет примерно $4\sqrt{6}-4\sqrt{3}$ см.

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу площади треугольника по синусу. Формула выглядит следующим образом:

$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin (C)$$

где S - площадь треугольника, a и b - стороны треугольника, C - угол между этими сторонами.

Подставим известные значения в формулу:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4\sqrt{3}\cdot \sin (30°)$$

$$S=4\sqrt{3}$$

Таким образом, площадь треугольника составляет $4\sqrt{3}$ квадратных сантиметра.

Таким образом, длина третьей стороны треугольника составляет $4\sqrt{6}-4\sqrt{3}$ см, а площадь треугольника равна $4\sqrt{3}$ квадратных см.