Какова длина третьей стороны треугольника и какова его площадь, если известно, что две стороны равны 8 см и 4√3

Lunnyy_Homyak

3

Для решения данной задачи, нам понадобятся правила тригонометрии и формулы площади треугольника.

Итак, у нас задано две стороны треугольника: одна равна 8 см, а другая равна 4√3 см. Также мы знаем, что угол между этими сторонами составляет 30 градусов.

Для определения длины третьей стороны треугольника, мы можем использовать теорему косинусов. Формула выглядит следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где c - третья сторона треугольника, a и b - известные стороны, C - угол между ними.

Подставим известные значения в формулу:

\[c^2 = (8)^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos(30°)\]

\[c^2 = 64 + 48 - 64\sqrt{3} \cdot \cos(30°)\]

Теперь вычислим значение с помощью калькулятора:

\[c^2 \approx 96 - 64 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[c^2 \approx 96 - 96\sqrt{3}\]

\[c \approx \sqrt{96 - 96\sqrt{3}}\]

\[c \approx \sqrt{48(2 - \sqrt{3})}\]

\[c \approx \sqrt{48} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}\]

\[c \approx 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} \approx 4\sqrt{6 - 4\sqrt{3}} \approx 4\sqrt{6} - 4\sqrt{3}\]

Таким образом, длина третьей стороны треугольника составляет примерно \(4\sqrt{6} - 4\sqrt{3}\) см.

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу площади треугольника по синусу. Формула выглядит следующим образом:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]

где S - площадь треугольника, a и b - стороны треугольника, C - угол между этими сторонами.

Подставим известные значения в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin(30°)\]

\[S = 4\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь треугольника составляет \(4\sqrt{3}\) квадратных сантиметра.

Таким образом, длина третьей стороны треугольника составляет \(4\sqrt{6} - 4\sqrt{3}\) см, а площадь треугольника равна \(4\sqrt{3}\) квадратных см.