Какова длина участка проводника, на котором будет действовать сила 1.2 мH, если два параллельных длинных проводника

Dobraya_Vedma

12

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся формулы, связанные с законом Био-Савара-Лапласа и законом Ампера. Давайте начнем!

Закон Био-Савара-Лапласа гласит, что магнитное поле на расстоянии \( r \) от элемента проводника длиной \( dl \), по которому течет ток \( I \), определяется следующей формулой:

\[ d\vec{B} = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}}{{4\pi r^3}} \]

Где:
\( \mu_0 \) - магнитная постоянная (\(4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл/А} \))
\( d\vec{B} \) - магнитное поле, создаваемое элементом проводника
\( I \) - ток, протекающий через элемент проводника
\( d\vec{l} \) - элемент длины проводника
\( \vec{r} \) - радиус-вектор, направленный от элемента проводника до точки наблюдения

Теперь мы можем перейти к решению задачи. У нас есть два параллельных проводника с токами, и мы должны найти расстояние между ними, при котором действующая на них сила будет равна 1.2 мН (миллиньютонам).

Для начала, давайте найдем магнитное поле, создаваемое первым проводником в точке наблюдения, которая находится на расстоянии \( r \) от него. Пусть длина проводника равна \( L \). Тогда длина элемента проводника \( dl \) будет равна \( dx \).

Используя закон Био-Савара-Лапласа, мы можем записать:

\[ d\vec{B_1} = \frac{{\mu_0 \cdot I_1 \cdot dx \times r_1}}{{4\pi r_1^3}} \]

Аналогичным образом, магнитное поле, создаваемое вторым проводником в точке наблюдения, будет определяться следующей формулой:

\[ d\vec{B_2} = \frac{{\mu_0 \cdot I_2 \cdot dx \times r_2}}{{4\pi r_2^3}} \]

где:
\( I_1 \) - ток, протекающий через первый проводник (25 А)
\( I_2 \) - ток, протекающий через второй проводник (неизвестный)
\( r_1 \) - радиус-вектор от первого проводника до точки наблюдения
\( r_2 \) - радиус-вектор от второго проводника до точки наблюдения

Теперь мы должны взять интегралы по всей длине проводников, чтобы получить полные значения магнитного поля для каждого проводника:

\[ \vec{B_1} = \int{\frac{{\mu_0 \cdot I_1 \cdot dx \times r_1}}{{4\pi r_1^3}}} \]

\[ \vec{B_2} = \int{\frac{{\mu_0 \cdot I_2 \cdot dx \times r_2}}{{4\pi r_2^3}}} \]

Теперь мы можем рассмотреть силу действующую на второй проводник со стороны первого проводника. Сила, действующая на элемент проводника длиной \( dx \) будет определяться следующим выражением:

\[ d\vec{F} = I_2 \cdot d\vec{l} \times \vec{B_1} \]

Аналогичным образом, сила, действующая на элемент проводника первого проводника со стороны второго проводника, будет определяться выражением:

\[ d\vec{F} = I_1 \cdot d\vec{l} \times \vec{B_2} \]

Согласно закону Ампера, эти силы должны быть равны по величине:

\[ I_2 \cdot \int{d\vec{l} \times \vec{B_1}} = I_1 \cdot \int{d\vec{l} \times \vec{B_2}} \]

Теперь мы можем рассмотреть расстояние между проводниками и выразить его через переменные:

\[ 2a = r_2 - r_1 \]

Подставив соответствующие выражения для магнитных полей и величин токов, получим:

\[ I_2 \cdot \int{\frac{{\mu_0 \cdot I_1 \cdot dx \times r_1}}{{4\pi r_1^3}}} = I_1 \cdot \int{\frac{{\mu_0 \cdot I_2 \cdot dx \times r_2}}{{4\pi r_2^3}}} \]

Теперь мы можем интегрировать выражения по всей длине проводника и решить уравнение относительно неизвестного расстояния между проводниками \( a \):

\[ 2a = \frac{{\mu_0 \cdot I_2 \cdot I_1}}{{4\pi}} \cdot \int{\frac{{r_1 \cdot dx}}{{r_1^3}}} - \frac{{\mu_0 \cdot I_2 \cdot I_1}}{{4\pi}} \cdot \int{\frac{{r_2 \cdot dx}}{{r_2^3}}} \]

Полученные интегралы от \( dx \) от \( 0 \) до \( L \) можно решить, используя замену переменных или таблицу интегралов.

Дальше, зная полученное значение расстояния между проводниками \( a \), мы можем найти длину участка проводника, на котором действует заданная сила, используя следующую формулу:

\[ L = 2a \]

Таким образом, мы сможем найти ответ на задачу. Не забудьте выполнить все необходимые расчеты и подставить значения констант.