Какова длина волны излученного фотона, когда электрон в атоме водорода переходит из возбужденного состояния в основное

Бельчонок

33

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание о модели атома водорода и формуле для длины волны. В модели атома водорода электрон движется по круговой орбите вокруг ядра, и радиус орбиты связан с энергией электрона. Согласно формуле Бора, радиус орбиты электрона связан с номером орбиты (n) следующим образом:

\[r = \frac{{a_0 \cdot n^2}}{{Z}}\]

где a0 - боровский радиус (приблизительно 0,529 Ангстрем), n - номер орбиты, Z - заряд ядра (для водорода Z = 1).
Когда происходит переход электрона из возбужденного состояния (номер орбиты \(n_2\)) в основное состояние (номер орбиты \(n_1\)), энергия электрона уменьшается.

Мы знаем, что при уменьшении радиуса орбиты в 16 раз (или в другие k раз), энергия электрона уменьшается в \(k^2\) раз. Таким образом, \(r_2 = \frac{r_1}{k}\), где \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы орбиты в возбужденном и основном состоянии соответственно.

Подставим эти значения в формулу Бора и найдем соотношение между \(n_2\) и \(n_1\):

\[\frac{{a_0 \cdot {n_1}^2}}{{Z}} = \frac{{\frac{{a_0 \cdot {n_2}^2}}{{Z}}}}{k}\]
\[{n_1}^2 = 16 \cdot {n_2}^2\]
\[n_1 = 4 \cdot n_2\]

Теперь, чтобы найти длину волны излученного фотона, мы можем использовать формулу Ридберга:

\[\frac{1}{{\lambda}} = R (\frac{1}{{n_1^2}} - \frac{1}{{n_2^2}})\]

где R - постоянная Ридберга для водорода (приблизительно \(1.097 \times 10^7\) м\(^{-1}\)), \(\lambda\) - длина волны фотона.

Подставим значение \(n_1 = 4 \cdot n_2\) в формулу Ридберга и найдем значение длины волны:

\[\frac{1}{{\lambda}} = R (\frac{1}{{(4 \cdot n_2)^2}} - \frac{1}{{n_2^2}})\]
\[\frac{1}{{\lambda}} = R (\frac{1}{16} - \frac{1}{n_2^2})\]
\[\frac{1}{{\lambda}} = \frac{{15R}}{{16n_2^2}}\]
\[\lambda = \frac{{16n_2^2}}{{15R}}\]

Заметим, что значение \(n_2\) является номером орбиты в возбужденном состоянии \(n_1\). Таким образом, длина волны излученного фотона будет зависеть от \(n_2\), и в данном случае будет равна:

\[\lambda = \frac{{16 \cdot {n_1}^2}}{{15R}}\]

Теперь остается только подставить числовые значения в формулу, зная постоянную Ридберга и значения \(n_1\) и \(n_2\), и рассчитать длину волны излученного фотона.