Какова длина высоты AH в треугольнике ABC, где угол С равен 90°, AB = 45 и sin A = 1/3?

Roman

49

Для решения этой задачи применим теорему синусов, которая гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},\]

где a, b и c - стороны треугольника, A, B и C - соответствующие им углы.

В данной задаче нам известны сторона AB (b = 45) и синус угла A (\(\sin A = \frac{1}{3}\)). Нам нужно найти длину высоты AH.

Первым делом найдем значение угла A:

\[\sin A = \frac{1}{3}.\]

Используя синус^-1 (иногда обозначается как arcsin), получим:

\[A = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right).\]

Оценим значению угла A:

\[A \approx 19.47^\circ.\]

Таким образом, угол A примерно равен 19.47 градуса.

Теперь, зная сторону AB (b = 45) и угол A с его приближенным значением (A ≈ 19.47°), мы можем использовать теорему синусов для нахождения стороны AC:

\[\frac{AB}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C}.\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{45}{\frac{1}{3}} = \frac{AC}{1}.\]

Раскрываем:

\[45 \cdot 3 = AC.\]

Выполняем умножение:

\[135 = AC.\]

Таким образом, сторона AC равна 135.

Итак, у нас получился прямоугольный треугольник ABC со сторонами: AB = 45 и AC = 135, где угол С равен 90°.

Для нахождения длины высоты AH, обратимся к свойствам прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике высота является прямым смежным катетом, а гипотенуза является противоположным катетом.

Используя теорему Пифагора, найдем гипотенузу BC:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2.\]

Подставляем значения:

\[BC^2 = 45^2 + 135^2.\]

Вычисляем сумму квадратов:

\[BC^2 = 2025 + 18225.\]

Складываем значения:

\[BC^2 = 20250.\]

Извлекаем квадратный корень:

\[BC = \sqrt{20250}.\]

Оценим значение гипотенузы BC:

\[BC \approx 142.45.\]

Теперь мы знаем все стороны треугольника ABC: AB = 45, AC = 135 и BC ≈ 142.45.

Для нахождения высоты AH воспользуемся соотношением между проекциями сторон треугольника и высотой:

\[AH = AB \cdot \frac{BC}{AC}.\]

Подставляем значения:

\[AH = 45 \cdot \frac{142.45}{135}.\]

Выполняем деление:

\[AH \approx 47.51.\]

Таким образом, длина высоты AH равна примерно 47.51 единице длины.

Ответ: Длина высоты AH в треугольнике ABC при заданных условиях примерно равна 47.51 единицам длины.