Какова длина высоты BD прямоугольного треугольника ABC, в котором AD = 2 см и DC = 8 см? Используйте указание

Цветочек

18

Для решения этой задачи воспользуемся свойством высоты прямоугольного треугольника, которое гласит, что высота, проведенная из вершины прямого угла к основанию, делит треугольник на два подобных друг другу треугольника.

Так как треугольники ABC и ABD являются подобными, то отношение соответствующих сторон треугольников должно быть равно. Найдем это отношение.

Сторона АВ является гипотенузой треугольника ABC, а сторона BD - одной из катетов.

Используя теорему Пифагора для треугольника ABC, найдем длину стороны AB:
\[AB = \sqrt{AD^2 + BD^2}\]
Подставим известные значения:
\[AB = \sqrt{2^2 + BD^2}\]
\[AB = \sqrt{4 + BD^2}\]

Теперь найдем длину стороны AC, которая является второй катетом треугольника ABC. Она равна 8 см.

\[AC = 8\]

Найдем отношение длин сторон AB и BD, а затем распишем это отношение:

\[\frac{AB}{BD} = \frac{BD}{AC}\]

Подставим найденные значения:

\[\frac{\sqrt{4 + BD^2}}{BD} = \frac{BD}{8}\]

Чтобы избавиться от знаменателей, возведем обе части уравнения в квадрат:

\[(\sqrt{4 + BD^2})^2 = BD^2 \cdot \frac{BD}{8}\]

\(4 + BD^2 = \frac{BD^3}{8}\)

Упростим уравнение, умножив обе части на 8:

\(32 + 8BD^2 = BD^3\)

Теперь приведем уравнение к кубическому виду:

\(BD^3 - 8BD^2 - 32 = 0\)

Данное уравнение можно решить, например, методом подбора корней. Переберем целые значения для BD и найдем значение, которое удовлетворяет уравнению.

Таким образом, чтобы найти длину высоты BD прямоугольного треугольника ABC, необходимо найти корень кубического уравнения \(BD^3 - 8BD^2 - 32 = 0\), перебирая целые значения для BD. Одно из таких значений и будет искомым решением.