Каков диаметр сферы, если она касается сторон двугранного угла, равного 60°, и расстояние от центра сферы до ребра

Рак

36

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрические свойства двугранного угла и свойства касания.

Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Вспомним, что двугранный угол – это угол, образованный двумя плоскостями, соединяющимися общим ребром. В данной задаче у нас есть двугранный угол, равный 60°.

Шаг 2: Заметим, что расстояние от центра сферы до ребра угла – это радиус сферы. Обозначим его как \(r\).

Шаг 3: Так как сфера касается сторон угла, то коcинус угла между радиусом и стороной угла равен 1 (так как касательная перпендикулярна радиусу).

Шаг 4: Поскольку дан угол в 60°, то его смежный угол (угол между радиусами) равен 180° - 60° = 120°.

Шаг 5: Косинус угла в 120° равен -0.5 (по таблице значений).

Шаг 6: Поэтому, зная, что косинус равен отношению стороны прилежащей к гипотенузе к гипотенузе, мы можем записать уравнение:
\[\cos(120°) = \frac{r}{d},\]
где \(d\) – диаметр сферы.

Шаг 7: Подставим значение косинуса: -0.5
\[-0.5 = \frac{r}{d}.\]

Шаг 8: Умножим обе части уравнения на \(d\) чтобы избавиться от знаменателя:
\[-0.5 \cdot d = r.\]

Таким образом, мы получили выражение для радиуса сферы через диаметр:
\[r = -0.5 \cdot d.\]

Задача готова. Радиус сферы равен \( -0.5 \cdot\) диаметр сферы.