Какова длина высоты, которая проведена из точки M до стороны NK в треугольнике MNK, если длины сторон MN, NK и KM равны

Skvoz_Pyl

15

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойством высоты треугольника.

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Треугольник MNK не является прямоугольным, но мы можем построить высоту, и она разделит треугольник на два прямоугольных треугольника.

Обозначим длину высоты как h. Так как высота проведена из точки M до стороны NK, то она является высотой прямоугольного треугольника MNK. Обозначим сторону NK как a (a = 25) и сторону KM как b (b = 17).

Для одного из прямоугольных треугольников (например, треугольник MNH, где H - точка пересечения высоты с основанием) применим теорему Пифагора:
\[a^2 = h^2 + (b - h)^2\]

Раскроем скобки в этом уравнении:
\[a^2 = h^2 + b^2 - 2bh + h^2\]

Сократим подобные слагаемые:
\[a^2 = 2h^2 - 2bh + b^2\]

Теперь приведем уравнение к виду квадратного трехчлена:
\[0 = 2h^2 - 2bh + b^2 - a^2\]

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]
\[h = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

В нашем случае:
\[a = 2\]
\[b = -2b\]
\[c = b^2 - a^2\]

Подставляем значения и находим дискриминант:
\[D = (-2b)^2 - 4(2)(b^2 - a^2)\]
\[D = 4b^2 - 8b^2 + 8a^2\]
\[D = -4b^2 + 8a^2\]

Теперь найдем значение h, используя формулу:
\[h = \frac{-(-2b) \pm \sqrt{-4b^2 + 8a^2}}{2(2)}\]
\[h = \frac{2b \pm \sqrt{-4b^2 + 8a^2}}{4}\]
\[h = \frac{b \pm \sqrt{-b^2 + 2a^2}}{2}\]

Итак, длина высоты равна:
\[h = \frac{b \pm \sqrt{-b^2 + 2a^2}}{2}\]

Теперь нужно подставить реальные значения для a и b, и рассчитать h.