Какова длина высоты, опущенной на основание равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна 17

Таинственный_Маг

25

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства равнобедренного треугольника. Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны друг другу. Также, в равнобедренном треугольнике, высота, опущенная на основание, является биссектрисой этого треугольника, а также медианой и высотой одновременно.

Для начала, обозначим основание равнобедренного треугольника как \(b\) (в нашем случае, мы не знаем, какой длины это основание), а боковую сторону как \(a\) (в нашем случае, \(a = 17\) см). Далее, обозначим высоту треугольника как \(h\). Наша задача - найти значение \(h\).

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину основания треугольника. Это можно сделать следующим образом:

\[
b = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]

Подставляя значение \(a = 17\) см в формулу, получим:

\[
b = \sqrt{17^2 - \left(\frac{17}{2}\right)^2}
\]

Выполняя вычисления, получим:

\[
b = \sqrt{289 - \frac{289}{4}} = \sqrt{\frac{1156}{4} - \frac{289}{4}} = \sqrt{\frac{867}{4}}
\]

Теперь, когда у нас есть значение \(b\), мы можем использовать формулу площади треугольника, чтобы найти высоту \(h\). Формула для площади треугольника выглядит следующим образом:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h
\]

Подставляя значение \(b\) и известное значение площади (площадь равна половине произведения основания и высоты), получим:

\[
\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{867}{4}} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{867}{4} = \frac{867}{8}
\]

Решив это уравнение, мы найдем значение высоты \(h\):

\[
h = \frac{\frac{867}{8}}{\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{867}{4}}} = \frac{\frac{867}{8}}{\frac{\sqrt{867}}{2}} = \frac{867}{8} \cdot \frac{2}{\sqrt{867}} = \frac{1734}{8\sqrt{867}} = \frac{867}{4\sqrt{867}} = \frac{867}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{867}}
\]

После упрощения, получим:

\[
h = \frac{217}{\sqrt{867}}
\]

Таким образом, длина высоты, опущенной на основание равнобедренного треугольника, составляет \(\frac{217}{\sqrt{867}}\) см.