Какова длина высоты, опущенной на сторону NK треугольника MNK, если MN= 161 , NK=240

Магнит

32

Чтобы найти длину высоты, опущенной на сторону NK треугольника MNK, мы можем использовать теорему Пифагора. Для начала, обратимся к той части треугольника MNK, где высота опущена.

По определению высоты, мы знаем, что высота делит сторону NK на две отрезка, которым мы обозначим х и 240 - х. Мы также можем обозначить длину высоты как h.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику MNH, где M - вершина треугольника MNK, H - точка пересечения высоты и стороны NK. Тогда у нас есть следующее:

\[MN^2 = NH^2 + MH^2\]

Заметим, что MH равно \(240 - x\), так как это второй отрезок стороны NK, и NH равно \(x\), поскольку это первый отрезок стороны NK.

Подставив значения, получим:

\[161^2 = x^2 + (240 - x)^2\]

Раскрыв квадратные скобки, получим:

\[161^2 = x^2 + 240^2 - 480x + x^2\]

Сгруппировав одночлены, получим:

\[161^2 = 2x^2 - 480x + 240^2\]

Теперь, для того чтобы найти x и дальше вычислить длину высоты, опущенной на сторону NK, нам необходимо решить это квадратное уравнение. Решение можно получить, используя квадратные корни или формулу дискриминанта. Я воспользуюсь формулой дискриминанта.

Дискриминант, обозначенный как \(D\), вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где a, b и c - коэффициенты в уравнении \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае, уравнение \(2x^2 - 480x + 240^2 - 161^2 = 0\) имеет коэффициенты a = 2, b = -480 и c = 240^2 - 161^2.

Расчитаем дискриминант:

\[D = (-480)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (240^2 - 161^2)\]

Вычисляя, получим:

\[D \approx 483,840\]

Теперь, найдем значения x, используя формулу для решения квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Подставим коэффициенты и значение дискриминанта:

\[x = \frac{-(-480) \pm \sqrt{483,840}}{2 \cdot 2}\]

Расчитаем значения x:

\[x_1 \approx 118.56\]

\[x_2 \approx 201.44\]

Таким образом, у нас два возможных значения для x. Однако, поскольку x должна быть меньше, чем сторона NK (240), значением будет только x = 118.56.

Теперь, чтобы найти длину высоты, опущенной на сторону NK, мы можем использовать один из найденных значений x (в данном случае, x = 118.56) и подставить его в формулу длины высоты \(h = \sqrt{MN^2 - NH^2}\).

\[h = \sqrt{161^2 - 118.56^2}\]

Вычисляя, получим:

\[h \approx 97.36\]

Итак, длина высоты, опущенной на сторону NK треугольника MNK, примерно равна 97.36.