Какова длина высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, если периметр треугольника равен 32

Михайловна

51

Давайте решим эту задачу пошагово. Длина основания равнобедренного треугольника будет обозначена как \(x\), поскольку в условии сказано, что оно на 2 см больше боковой стороны. Значит, длина боковой стороны равна \(x-2\) см.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. В этом случае, мы знаем, что периметр равен 32 см, и мы можем записать это в виде уравнения:

\[x + (x-2) + (x-2) = 32\]

Теперь объединим подобные слагаемые:

\[3x - 4 = 32\]

Добавим 4 к обеим сторонам уравнения:

\[3x = 36\]

Разделим обе стороны уравнения на 3:

\[x = 12\]

Теперь, когда у нас есть значение для длины основания, мы можем найти длину высоты, проведенной к основанию. Высота, проведенная к основанию, разделит треугольник на две равные части и будет перпендикулярна основанию.

Так как равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, мы можем провести высоту к основанию и она будет также являться медианой (то есть отрезком, соединяющим вершину треугольника с серединой основания). Половина основания будет равна \(\frac{x}{2}\).

Теперь у нас есть два треугольника: равнобедренный треугольник с основанием \(x\) и высотой \(h\), и прямоугольный треугольник со сторонами \(\frac{x}{2}\), \(h\) и \(x-2\).

Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[(\frac{x}{2})^2 + h^2 = (x-2)^2\]

Раскроем скобки:

\[\frac{x^2}{4} + h^2 = x^2 - 4x + 4\]

Упростим уравнение:

\[h^2 = x^2 - 4x + 4 - \frac{x^2}{4}\]

Воспользуемся общим умножением:

\[h^2 = \frac{4x^2 - 16x + 16 - x^2}{4}\]

\[h^2 = \frac{3x^2 - 16x + 16}{4}\]

Поделим обе стороны уравнения на 4:

\[h^2 = \frac{3x^2 - 16x + 16}{4}\]

Теперь, раз мы знаем значение \(x\), мы можем найти \(h\). Подставим \(x = 12\) в уравнение:

\[h^2 = \frac{3(12)^2 - 16(12) + 16}{4}\]

\[h^2 = \frac{3(144) - 192 + 16}{4}\]

\[h^2 = \frac{432 - 192 + 16}{4}\]

\[h^2 = \frac{256}{4}\]

\[h^2 = 64\]

Чтобы найти \(h\), возьмем квадратный корень с обеих сторон уравнения:

\[h = \sqrt{64}\]

\[h = 8\]

Таким образом, длина высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, равна 8 см.