Какова должна быть масса шарика, чтобы увеличить частоту его вертикальных гармонических колебаний в 2 раза, сохраняя
Какова должна быть масса шарика, чтобы увеличить частоту его вертикальных гармонических колебаний в 2 раза, сохраняя при этом лёгкую пружину и свободные колебания вдоль вертикальной оси?
Aleksandra_612 8
Для решения задачи нам понадобится использовать формулу для периода колебания \(T\) пружинного маятника:\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]
где \(m\) - масса шарика, \(k\) - жёсткость пружины.
Поскольку мы хотим увеличить частоту колебаний в 2 раза, то новый период \(T"\) будет равен половине от оригинального периода \(T\):
\[T" = \frac{1}{2}T\]
Следовательно, новый период можно записать как:
\[T" = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \cdot \frac{1}{2}\]
Теперь мы можем найти новую массу \(m"\), которая соответствует новому периоду:
\[2\pi\sqrt{\frac{m"}{k}} \cdot \frac{1}{2} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]
Убираем одинаковые множители и квадратируем обе части уравнения:
\[\sqrt{\frac{m"}{k}} = \sqrt{\frac{m}{k}}\]
\[\frac{m"}{k} = \frac{m}{k}\]
Теперь можно исключить жёсткость пружины \(k\) из уравнения, так как она остаётся постоянной:
\[m" = m\]
Таким образом, для того чтобы увеличить частоту вертикальных гармонических колебаний шарика в 2 раза, при сохранении лёгкой пружины и свободных колебаний, масса шарика должна остаться без изменений.