Какова эластичность предложения в точке рыночного равновесия в математической модели рынка товара с функцией спроса

Sverkayuschiy_Dzhentlmen

55

Хорошо, давайте посмотрим на данную задачу. Нам дана функция спроса \(D(p) = \frac{56}{p+4}+6\) и функция предложения \(S(p) = 10+\ln(0.1p)\), где цена товара обозначена как \(p\) в рублях.

Для определения эластичности предложения в точке рыночного равновесия, нам необходимо найти эту точку, где спрос и предложение на товар равны друг другу.

Чтобы найти цену равновесия, мы должны приравнять функцию спроса и функцию предложения и решить уравнение:

\[
D(p) = S(p)
\]

Подставим наши функции спроса и предложения:

\[
\frac{56}{p+4}+6 = 10+\ln(0.1p)
\]

Для упрощения вычислений, давайте сначала избавимся от логарифма путем возведения в экспоненту:

\[
\frac{56}{p+4}+6 = 10+e^{\ln(0.1p)}
\]

Заметим, что \(e^{\ln(0.1p)}\) просто равно \(0.1p\), поэтому упростим выражение:

\[
\frac{56}{p+4}+6 = 10+0.1p
\]

Теперь у нас есть уравнение без логарифма. Чтобы решить его, сначала умножим обе части на \(p+4\):

\[
56 + 6(p+4) = 10(p+4) + 0.1p(p+4)
\]

Раскроем скобки:

\[
56 + 6p + 24 = 10p + 40 + 0.1p^2 + 0.4p
\]

Упростим:

\[
0.1p^2 + 0.4p - 4p = 40 - 56 - 24
\]

\[
0.1p^2 - 3.6p = -40
\]

Теперь приведем это к квадратному уравнению:

\[
p^2 - 36p = -400
\]

Приведем все к одной стороне:

\[
p^2 - 36p + 400 = 0
\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и формулами для нахождения корней:

\[
p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -36\), \(c = 400\). Вычислим дискриминант:

\[
D = (-36)^2 - 4(1)(400) = 1296 - 1600 = -304
\]

Так как дискриминант отрицательный, это означает, что уравнение не имеет вещественных корней. Значит, у данной модели нет точки рыночного равновесия и соответственно нет значения эластичности предложения в данной точке.