Какова эластичность спроса по цене в исходной ситуации, если в салоне маникюра цена составляет 150 рублей в неделю

Pugayuschiy_Shaman_9395

21

Хорошо, давайте решим задачу о эластичности спроса на примере салона маникюра.

Первый вопрос: Какова эластичность спроса по цене в исходной ситуации?

Эластичность спроса показывает, как изменение цены влияет на количество товара или услуги, которое покупается. Она может быть различной: эластичной, неэластичной или единичной.

Для определения эластичности спроса (Е) используется следующая формула:

\[ E = \frac{{\%\ изменение\ количества\ спроса}}{{\%\ изменение\ цены}} \]

Для исходной ситуации у нас есть следующие данные:
- Цена в салоне маникюра составляет 150 рублей в неделю.
- Количество клиентов составляет 20.

При повышении цены до 170 рублей количество клиентов уменьшилось до 15.

Теперь мы можем использовать формулу эластичности спроса, чтобы вычислить значения:

\[ \%\ изменение\ количества\ спроса = \frac{{\text{{Количество клиентов до}} - \text{{Количество клиентов после}}}}{{\text{{Количество клиентов до}}}} \times 100\% \]
\[ \%\ изменение\ цены = \frac{{\text{{Цена после}} - \text{{Цена до}}}}{{\text{{Цена до}}}} \times 100\% \]

Подставим значения и произведем вычисления:

\[ \%\ изменение\ количества\ спроса = \frac{{20 - 15}}{{20}} \times 100\% = 25\% \]
\[ \%\ изменение\ цены = \frac{{170 - 150}}{{150}} \times 100\% = 13.33\% \]

Теперь мы можем вычислить эластичность спроса:

\[ E = \frac{{25\%}}{{13.33\%}} \approx 1.88 \]

Таким образом, эластичность спроса по цене в данной ситуации составляет примерно 1.88. Это означает, что спрос на маникюр в салоне относительно эластичен, так как изменение цены на 13.33% приводит к изменению количества клиентов на 25%.

Второй вопрос: Какая цена на маникюр приведет к максимальной выручке салона от предоставления этой услуги? Каков будет объем выручки и количество клиентов?

Для определения цены, при которой максимальная выручка будет достигнута, мы должны знать зависимость между ценой и количеством клиентов. Здесь нам пригодится работа с эластичностью спроса.

Общий доход (Revenue) можно вычислить, умножив цену на количество клиентов:

\[ \text{{Revenue}} = \text{{Цена}} \times \text{{Количество клиентов}} \]

Для определения цены, при которой максимальная выручка будет достигнута, мы можем использовать следующую формулу:

\[ E = \frac{{\text{{Цена}}}}{{\text{{Количество клиентов}}}} \times \frac{{dQ}}{{dP}} \]

Где \(\frac{{dQ}}{{dP}}\) - это производная изменения количества клиентов по отношению к изменению цены.

Приравняем это выражение к -1 и решим уравнение относительно цены:

\[ \frac{{dQ}}{{dP}} = \frac{{-1}}{{E}} \]

Подставим значение эластичности спроса, которое мы вычислили ранее:

\[ \frac{{dQ}}{{dP}} = \frac{{-1}}{{1.88}} \]

Теперь мы можем найти цену, при которой достигается максимальная выручка. Подставим значение производной и решим уравнение:

\[ \frac{{-1}}{{1.88}} = \frac{{dQ}}{{dP}} \]

Применим правило дифференцирования и решим уравнение:

\[ \frac{{-1}}{{1.88}} = \frac{{dQ}}{{dP}} \Rightarrow -\frac{{1}}{{1.88}} \cdot dP = dQ \]

Теперь мы можем интегрировать и найти зависимость между количеством клиентов и ценой:

\[ \int{dQ} = -\frac{{1}}{{1.88}} \int{dP} \]

\[ Q = -\frac{{1}}{{1.88}}P + C \]

Где C - это постоянная интегрирования.

В данном случае, мы знаем, что при цене 150 рублей в неделю количество клиентов составляет 20, используем это условие:

\[ 20 = -\frac{{1}}{{1.88}} \cdot 150 + C \]

Найдем значение C:

\[ C = 20 + \frac{{150}}{{1.88}} \]

\[ C \approx 105.32 \]

Теперь мы можем найти значение Q (количество клиентов) при произвольной цене P:

\[ Q = -\frac{{1}}{{1.88}}P + 105.32 \]

Теперь мы можем найти максимальную выручку, зная зависимость между ценой и количеством клиентов:

\[ \text{{Revenue}} = P \cdot Q \Rightarrow \text{{Revenue}} = P \cdot \left(-\frac{{1}}{{1.88}}P + 105.32\right) \]

Теперь нам нужно найти максимум этой функции выручки. Мы можем сделать это, найдя вершину параболы.

Для этого мы должны найти производную от функции и приравнять ее к нулю:

\[ \frac{{d(\text{{Revenue}})}}{{dP}} = -\frac{{1}}{{1.88}}P + 105.32 - \frac{{2P}}{{1.88}} = 0 \]

Решим уравнение:

\[ -\frac{{3.88P}}{{1.88}} + 105.32 = 0 \]

\[ -3.88P + 198.08 \approx 0 \]

\[ P \approx 51.14 \]

Подставляем найденное значение цены обратно в наше уравнение выручки:

\[ \text{{Revenue}} = 51.14 \cdot \left(-\frac{{1}}{{1.88}} \cdot 51.14 + 105.32\right) \]

\[ \text{{Revenue}} \approx 2675.24 \]

Таким образом, максимальная выручка составляет примерно 2675.24 рублей. Чтобы найти количество клиентов, подставим найденное значение цены в уравнение зависимости количества клиентов от цены:

\[ Q = -\frac{{1}}{{1.88}} \cdot 51.14 + 105.32 \]

\[ Q \approx 12.86 \]

Таким образом, при цене примерно 51.14 рублей в неделю салон маникюра получит максимальную выручку в размере примерно 2675.24 рублей, а количество клиентов составит примерно 12.86.

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам понять задачу о эластичности спроса и максимальной выручке в салоне маникюра.