Какова энергия электрического поля конденсатора в момент времени, когда мгновенное значение силы тока в 3 раза меньше

Булька

41

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для энергии электрического поля в конденсаторе:

\[E = \frac{1}{2}C(V^2 - V_0^2)\]

Где \(E\) - энергия электрического поля, \(C\) - емкость конденсатора, \(V\) - мгновенное значение напряжения на конденсаторе, \(V_0\) - амплитудное значение напряжения на конденсаторе.

В данной задаче дано значение амплитуды колебаний тока \(I_0\), но нам необходимо найти значение мгновенной силы тока \(I\). Для этого нужно знать характер зависимости между током и напряжением в данной цепи.

Для идеального контура колебаний, состоящего из индуктивности \(L\) и конденсатора со ёмкостью \(C\), справедливо уравнение колебательного контура:

\[\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}q = 0\]

где \(q\) - заряд конденсатора, \(R\) - сопротивление контура, \(t\) - время.

Решим это уравнение для однополярного импульса. В данном случае, если сила тока уменьшается в 3 раза, амплитуда заряда колебаний конденсатора также уменьшается в 3 раза. Таким образом, амплитуда заряда в начальный момент времени \(q_0 = 3q\), где \(q\) - мгновенное значение заряда.

Подставим это значение в решение уравнения колебательного контура:

\[q(t) = q_0 \cos(\omega t)\]

Где \(\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}\) - циклическая частота.

Мгновенное значение тока \(I\) можно выразить как производную заряда по времени:

\[I(t) = \frac{dq}{dt} = -\omega q_0 \sin(\omega t)\]

Найдем силу тока в момент времени, когда мгновенное значение тока в 3 раза меньше амплитудного значения. Для этого подставим \(I = \frac{I_0}{3}\) и найдем соответствующий момент времени \(t_m\):

\[\frac{I_0}{3} = -\omega q_0 \sin(\omega t_m)\]

Теперь мы можем найти энергию электрического поля конденсатора, подставив найденное значение мгновенного заряда \(q(t_m)\) в формулу энергии электрического поля:

\[E = \frac{1}{2}C(V^2 - V_0^2)\]

где \(V = \frac{q(t_m)}{C}\) - мгновенное значение напряжения на конденсаторе, \(V_0 = \frac{q_0}{C}\) - амплитудное значение напряжения на конденсаторе.

Подставим значения и найдем ответ.