Какова формула для вычисления скорости растворения, если концентрация раствора изменяется с течением времени по закону

Skat

31

Для вычисления скорости растворения по заданной формуле необходимо найти производную от концентрации раствора по времени и оценить ее значение в заданный момент времени.

Заданная формула зависимости концентрации раствора от времени имеет вид: \(c = \frac{{100t}}{{1 - 5t}}\).

Чтобы найти производную от концентрации по времени, применим правило дифференцирования для функций, заданных неявно. Для этого преобразуем данную формулу, выделив зависимость от времени на левую сторону уравнения:

\[c(1 - 5t) = 100t.\]

Раскроем скобки:

\[c - 5ct = 100t.\]

Перенесем все слагаемые, содержащие концентрацию, на одну сторону:

\[c - 5ct - 100t = 0.\]

Теперь полученное уравнение является функциональным уравнением с неявной зависимостью от времени и концентрации.

Применим правило дифференцирования для функций, заданных неявно (например, метод дифференциалов):

\[\frac{{dc}}{{dt}} - 5c - 5t\frac{{dc}}{{dt}} - 100 = 0.\]

Сгруппируем слагаемые с производными по времени:

\[\left(1 - 5t\right)\frac{{dc}}{{dt}} - 5c - 100 = 0.\]

Теперь найдем значение производной \(\frac{{dc}}{{dt}}\) в заданный момент времени \(t_0\). Подставим \(t_0\) вместо \(t\) в полученное уравнение и решим его относительно \(\frac{{dc}}{{dt}}\):

\[\left(1 - 5t_0\right)\frac{{dc}}{{dt}} - 5c(t_0) - 100 = 0.\]

Решая это уравнение относительно \(\frac{{dc}}{{dt}}\), получим:

\[\frac{{dc}}{{dt}} = \frac{{5c(t_0) + 100}}{{1 - 5t_0}}.\]

Таким образом, формула для вычисления скорости растворения в заданный момент времени \(t_0\) будет:

\[\frac{{dc}}{{dt}} = \frac{{5c(t_0) + 100}}{{1 - 5t_0}}.\]

Обратите внимание, что данная формула выражает скорость изменения концентрации раствора по времени, а не саму концентрацию раствора.