Какова формула расчета модуля скорости при сложении двух скоростей в произвольном случае, согласно теореме косинусов?

Maksimovich

37

Конечно, я могу помочь вам с этим вопросом. При сложении двух скоростей в произвольном случае с помощью теоремы косинусов можно использовать следующую формулу для расчета модуля суммарной скорости:

\[|\mathbf{v}_{\text{сум}}| = \sqrt{|\mathbf{v}_1|^2 + |\mathbf{v}_2|^2 + 2|\mathbf{v}_1||\mathbf{v}_2|\cos\theta}\]

где:
- \(|\mathbf{v}_{\text{сум}}|\) - модуль суммарной скорости,
- \(|\mathbf{v}_1|\) и \(|\mathbf{v}_2|\) - модули скоростей,
- \(\theta\) - угол между векторами скоростей.

Теперь рассмотрим изменение модуля суммарной скорости в различных частных случаях:

а) Если скорости параллельны, то угол \(\theta\) между ними равен нулю. В этом случае формула принимает вид:

\[|\mathbf{v}_{\text{сум}}| = \sqrt{|\mathbf{v}_1|^2 + |\mathbf{v}_2|^2 + 2|\mathbf{v}_1||\mathbf{v}_2|\cos(0)}\]
\[= \sqrt{|\mathbf{v}_1|^2 + |\mathbf{v}_2|^2 + 2|\mathbf{v}_1||\mathbf{v}_2|\cdot 1}\]
\[= \sqrt{(v_1 + v_2)^2}\]
\[= v_1 + v_2\]

Таким образом, при сложении параллельных скоростей их модули просто складываются.

б) Если скорости перпендикулярны, то угол \(\theta\) между ними равен 90 градусов или \(\frac{\pi}{2}\) радиан. В этом случае формула принимает вид:

\[|\mathbf{v}_{\text{сум}}| = \sqrt{|\mathbf{v}_1|^2 + |\mathbf{v}_2|^2 + 2|\mathbf{v}_1||\mathbf{v}_2|\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}\]
\[= \sqrt{|\mathbf{v}_1|^2 + |\mathbf{v}_2|^2 + 2|\mathbf{v}_1||\mathbf{v}_2|\cdot 0}\]
\[= \sqrt{|\mathbf{v}_1|^2 + |\mathbf{v}_2|^2}\]
\[= \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\]

Таким образом, при сложении перпендикулярных скоростей модуль суммарной скорости равен корню из суммы квадратов модулей исходных скоростей.

Вот так можно выразить формулу для расчета модуля скорости при сложении двух скоростей и объяснить, как он изменяется в различных частных случаях.