Какова градусная мера дуги сектора и радиус круга, если длина дуги равна 2 П см и площадь сектора составляет 8 П см^2?

Vinni

36

Для решения этой задачи, мы должны использовать связь между градусной мерой дуги, радиусом круга и площадью сектора. Давайте рассмотрим каждый аспект по очереди.

1. Градусная мера дуги сектора:
Допустим, что градусная мера дуги сектора равна $x$ градусов. Известно, что весь круг имеет 360 градусов. Таким образом, отношение дуги сектора к полной окружности равно отношению градусной меры дуги сектора к 360 градусам. Мы можем записать это следующим образом:
$\frac{x}{360}=\frac{2\pi }{2\pi }$,
где $2\pi$ - длина окружности радиусом 1 (по определению числа Пи).

Если мы решим это уравнение относительно $x$, мы найдем градусную меру дуги сектора.

2. Радиус круга:
Площадь сектора равна произведению градусной меры дуги сектора и квадрат радиуса круга, деленному на 360 градусов. То есть:
$\frac{x}{360}=\frac{8\pi }{2\pi r^2}$.

Если мы решим это уравнение относительно $r$, мы найдем радиус круга.

Давайте решим это уравнение:

$\frac{x}{360}=\frac{8\pi }{2\pi r^2}$.

Перемножим обе стороны уравнения на 360 и поделим на $2\pi$:

$x\cdot \frac{360}{2\pi }=\frac{8\pi }{2\pi r^2}\cdot \frac{360}{2\pi }$.

Упростим это выражение:

$x\cdot \frac{180}{\pi }=\frac{1440}{r^2}$.

Теперь, чтобы найти радиус круга, нам нужно установить значение $x$ - градусную меру дуги сектора. Для этого, используя первое уравнение:

$\frac{x}{360}=\frac{2\pi }{2\pi }$.

Упростим это выражение:

$\frac{x}{360}=1$.

Умножим обе стороны уравнения на 360:

$x=360$.

Теперь мы можем подставить значение $x$ во второе уравнение:

$360\cdot \frac{180}{\pi }=\frac{1440}{r^2}$.

Упростим это выражение:

$\frac{360\cdot 180}{\pi }=\frac{1440}{r^2}$.

Мы можем упростить это выражение дальше:

$\frac{64800}{\pi }=\frac{1440}{r^2}$.

Теперь, чтобы найти радиус круга, нам нужно решить это уравнение относительно $r$:

$\frac{1440}{r^2}=\frac{64800}{\pi }$.

Умножим обе стороны на $r^2$ и разделим на $\frac{1440}{r^2}$:

$r^2=\frac{1440}{\frac{64800}{\pi }}$.

Упростим это выражение:

$r^2=\frac{1440\pi }{64800}$.

Наконец, возьмем квадратный корень от обеих сторон, чтобы найти радиус:

$r=\sqrt{\frac{1440\pi }{64800}}$.

Итак, ответ на задачу: градусная мера дуги сектора равна 360 градусов, а радиус круга равен $\sqrt{\frac{1440\pi }{64800}}$ см.