Какова градусная мера дуги сектора и радиус круга, если длина дуги равна 2 П см и площадь сектора составляет 8 П см^2?

Vinni

36

Для решения этой задачи, мы должны использовать связь между градусной мерой дуги, радиусом круга и площадью сектора. Давайте рассмотрим каждый аспект по очереди.

1. Градусная мера дуги сектора:
Допустим, что градусная мера дуги сектора равна \(x\) градусов. Известно, что весь круг имеет 360 градусов. Таким образом, отношение дуги сектора к полной окружности равно отношению градусной меры дуги сектора к 360 градусам. Мы можем записать это следующим образом:
\(\frac{x}{360} = \frac{2\pi}{2\pi}\),
где \(2\pi\) - длина окружности радиусом 1 (по определению числа Пи).

Если мы решим это уравнение относительно \(x\), мы найдем градусную меру дуги сектора.

2. Радиус круга:
Площадь сектора равна произведению градусной меры дуги сектора и квадрат радиуса круга, деленному на 360 градусов. То есть:
\(\frac{x}{360}=\frac{8\pi}{2\pi r^2}\).

Если мы решим это уравнение относительно \(r\), мы найдем радиус круга.

Давайте решим это уравнение:

\(\frac{x}{360}=\frac{8\pi}{2\pi r^2}\).

Перемножим обе стороны уравнения на 360 и поделим на \(2\pi\):

\(x \cdot \frac{360}{2\pi} = \frac{8\pi}{2\pi r^2} \cdot \frac{360}{2\pi}\).

Упростим это выражение:

\(x \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{1440}{r^2}\).

Теперь, чтобы найти радиус круга, нам нужно установить значение \(x\) - градусную меру дуги сектора. Для этого, используя первое уравнение:

\(\frac{x}{360} = \frac{2\pi}{2\pi}\).

Упростим это выражение:

\(\frac{x}{360} = 1\).

Умножим обе стороны уравнения на 360:

\(x = 360\).

Теперь мы можем подставить значение \(x\) во второе уравнение:

\(360 \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{1440}{r^2}\).

Упростим это выражение:

\(\frac{360 \cdot 180}{\pi} = \frac{1440}{r^2}\).

Мы можем упростить это выражение дальше:

\(\frac{64800}{\pi} = \frac{1440}{r^2}\).

Теперь, чтобы найти радиус круга, нам нужно решить это уравнение относительно \(r\):

\(\frac{1440}{r^2} = \frac{64800}{\pi}\).

Умножим обе стороны на \(r^2\) и разделим на \(\frac{1440}{r^2}\):

\(r^2 = \frac{1440}{\frac{64800}{\pi}}\).

Упростим это выражение:

\(r^2 = \frac{1440 \pi}{64800}\).

Наконец, возьмем квадратный корень от обеих сторон, чтобы найти радиус:

\(r = \sqrt{\frac{1440 \pi}{64800}}\).

Итак, ответ на задачу: градусная мера дуги сектора равна 360 градусов, а радиус круга равен \(\sqrt{\frac{1440 \pi}{64800}}\) см.