Определите тип четырехугольника с вершинами a(1; 1), b(2; 3), c(0; 4), d(-1; 2) путем вычисления следующего: а) длины

Наталья

5

Чтобы определить тип четырехугольника с заданными вершинами, нам необходимо вычислить длины его сторон и углы.

а) Вычислим длины сторон четырехугольника:

Для этого нам понадобятся формулы для расчета расстояния между двумя точками в координатной плоскости. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Используя данную формулу, мы можем вычислить длину каждой стороны четырехугольника:

Сторона AB:
\[d_{AB} = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\]

Сторона BC:
\[d_{BC} = \sqrt{(0 - 2)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}\]

Сторона CD:
\[d_{CD} = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}\]

Сторона DA:
\[d_{DA} = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}\]

Таким образом, стороны AB, BC, CD, DA всех равны и имеют длину \(\sqrt{5}\).

б) Теперь вычислим углы четырехугольника:

Для этого воспользуемся формулой для вычисления угла между двумя векторами, которая выглядит так:

\[\cos{\theta} = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}}\]

где \(\theta\) - угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) - скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\) - длины векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

Мы можем вычислить углы между каждой парой последовательных сторон:

Угол ABC:
\[\cos{\angle ABC} = \frac{{(2 - 1) \cdot (0 - 2) + (3 - 1) \cdot (4 - 3)}}{{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}} = -\frac{1}{5}\]
\[\angle ABC = \arccos{\left(-\frac{1}{5}\right)} \approx 101.54^\circ\]

Угол BCD:
\[\cos{\angle BCD} = \frac{{(0 - 2) \cdot (-1 - 0) + (4 - 3) \cdot (2 - 4)}}{{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}} = -\frac{1}{5}\]
\[\angle BCD = \arccos{\left(-\frac{1}{5}\right)} \approx 101.54^\circ\]

Угол CDA:
\[\cos{\angle CDA} = \frac{{(-1 - 0) \cdot (1 - (-1)) + (2 - 4) \cdot (1 - 2)}}{{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}} = -\frac{1}{5}\]
\[\angle CDA = \arccos{\left(-\frac{1}{5}\right)} \approx 101.54^\circ\]

Угол DAB:
\[\cos{\angle DAB} = \frac{{(1 - (-1)) \cdot (2 - 1) + (1 - 2) \cdot (3 - 1)}}{{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}} = -\frac{1}{5}\]
\[\angle DAB = \arccos{\left(-\frac{1}{5}\right)} \approx 101.54^\circ\]

Таким образом, углы ABC, BCD, CDA, DAB равны и примерно равны 101.54 градусов.

Исходя из полученных данных, мы видим, что все стороны четырехугольника равны и все его углы примерно равны 101.54 градусов. Это означает, что данный четырехугольник является квадратом.