Какова индукция магнитного поля в центре кольца диаметром 8 см, по которому проходит ток силой

Хрусталь

13

Для решения этой задачи мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа и применить его к конкретной ситуации.

Закон Био-Савара-Лапласа утверждает, что индукция магнитного поля \(B\) в точке, находящейся на расстоянии \(r\) от проводника, по которому проходит ток, определяется следующей формулой:

\[dB = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{Idl \times \sin\theta}}{{r^2}}\]

Где:
\(dB\) - элемент магнитного поля, создаваемого элементом проводника
\(Idl\) - длина элемента проводника
\(\theta\) - угол между вектором \(Idl\) и вектором, соединяющим элемент проводника и точку, в которой ищется индукция магнитного поля
\(r\) - расстояние от элемента проводника до точки, в которой ищется индукция магнитного поля
\(\mu_0\) - магнитная постоянная, примерное значение которой составляет \(4\pi \times 10^{-7}\) Тл/А

В данной задаче у нас есть кольцо с диаметром 8 см, по которому проходит ток. Чтобы найти индукцию магнитного поля в центре кольца, мы можем разделить кольцо на бесконечно малые элементы проводника и интегрировать все эти элементы, чтобы получить полное магнитное поле в центре.

Давайте выразим длину элемента проводника \(dl\) через угловое расстояние \(\Delta\theta\) и радиус кольца \(R\). Также заметим, что угол \(\theta\) в центре кольца будет равен \(\frac{\pi}{2}\), так как радиус проводника соединяет элемент проводника и центр кольца.

\[dl = R \cdot d\theta\]
\[\theta = \frac{\pi}{2}\]

Теперь мы можем записать элемент магнитного поля \(dB\) в центре кольца, используя формулу для \(dB\):

\[dB = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{Idl \times \sin\theta}}{{r^2}}\]
\[dB = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I \cdot R \cdot d\theta}}{{r^2}}\]

В данной задаче нас интересует полное магнитное поле в центре кольца, поэтому мы интегрируем \(dB\) по всем элементам проводника:

\[B = \int_{0}^{2\pi} dB = \int_{0}^{2\pi} \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I \cdot R \cdot d\theta}}{{r^2}}\]

Произведя данную интеграцию, мы получим:

\[B = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I \cdot R}}{{r^2}} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta\]

Интеграл \(\int_{0}^{2\pi} d\theta\) равен \(2\pi\), поэтому мы можем упростить выражение следующим образом:

\[B = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I \cdot R}}{{r^2}} \cdot 2\pi\]

Теперь подставим известные значения в данное выражение. Диаметр кольца равен 8 см, что соответствует радиусу \(R = \frac{{8 \, \text{см}}}{{2}} = 4 \, \text{см} = 0.04 \, \text{м}\). Также известно, что ток в кольце имеет силу, но в задаче она не указана. Поэтому воспользуемся обозначением \(I\) для неизвестного тока. Наконец, мы ищем индукцию магнитного поля в центре кольца, поэтому \(r = 0\).

\[B = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I \cdot 0.04}}{{0^2}} \cdot 2\pi\]
\[B = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot I \cdot 0.04 \cdot 2\pi\]
\[B = \mu_0 \cdot I \cdot 0.04\]

Таким образом, индукция магнитного поля в центре кольца с диаметром 8 см, по которому проходит ток силой \(I\), равна \(\mu_0 \cdot I \cdot 0.04\).