Какова индукция магнитного поля в центре квадрата, по которому проходят четыре длинных прямых параллельных проводника

Magiya_Zvezd_4344

41

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать закон Био-Савара-Лапласа и применить его к каждому проводнику. Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислить магнитное поле, создаваемое прямым проводником, и составляет:

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}}{{r^3}}\]

Где:
\(d\vec{B}\) - дифференциальный вектор магнитной индукции,
\(I\) - ток в проводнике,
\(d\vec{l}\) - дифференциальный вектор длины проводника,
\(\vec{r}\) - радиус-вектор, указывающий на точку, в которой мы хотим вычислить магнитное поле,
\(r\) - расстояние от проводника до точки, в которой мы хотим вычислить магнитное поле,
\(\mu_0\) - магнитная постоянная, которая равна \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}\).

Поскольку в задаче все проводники перпендикулярны плоскости и проходят через центр квадрата, вам нужно найти сумму магнитных полей, создаваемых каждым проводником в точке находящейся в центре.

Рассчитаем магнитное поле для каждого проводника:
1) Первый проводник:
Длина проводника - его длина равна стороне квадрата, поэтому длина первого проводника также составляет 30 см.
Направление тока - в данном случае, для расчета магнитного поля в центре квадрата, направление тока не имеет значения.
Примем за начало координат точку находящуюся в центре квадрата.
Вычислим магнитное поле от первого проводника в центре квадрата.
Проведем ось OX через первый проводник, а ось OY через его середину. Тогда дифференциальный вектор длины проводника \(d\vec{l}\) направлен вдоль оси OX, и его производную \(dl\) можно положить равной переменной \(x\). Таким образом,
\[d\vec{l} = dx\hat{i}\]
Вектор \(\vec{r}\) показывает на точку, где вычисляется магнитное поле. В центре квадрата он будет показывать от начала координат вдоль оси OY и координата этой точки равна \(y\).
\[\vec{r} = y\hat{j}\]
Подставим значения в формулу для \(d\vec{B}\):

\[d\vec{B_1} = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot dx \times \hat{i} \times y \hat{j}}}{{(y^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}}}\]
\[d\vec{B_1} = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot x \cdot y}}{{(y^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}}}\hat{k}\]

2) Второй проводник:
Так как вектор \(d\vec{l}\) параллелен вектору \(\vec{r}\), магнитное поле в центре, создаваемое вторым проводником, будет равно 0.

3) Третий проводник:
Так как вектор \(d\vec{l}\) параллелен вектору \(\vec{r}\), магнитное поле в центре, создаваемое третьим проводником, будет равно 0.

4) Четвертый проводник:
Направление тока в четвертом проводнике противоположное, поэтому его магнитное поле будет иметь противоположное направление.
Проведем ось OX через четвертый проводник, а ось OY через его середину. Тогда дифференциальный вектор длины проводника \(d\vec{l}\) направлен вдоль оси OX, и его производную \(dl\) можно положить равной переменной \(x\). Таким образом,
\[d\vec{l} = dx\hat{i}\]
Вектор \(\vec{r}\) показывает на точку, где вычисляется магнитное поле. В центре квадрата он будет показывать от начала координат вдоль оси OY и координата этой точки равна \(-y\).
\[\vec{r} = -y\hat{j}\]
Подставим значения в формулу для \(d\vec{B}\):

\[d\vec{B_4} = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot dx \times \hat{i} \times (-y) \hat{j}}}{{((-y)^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}}}\]
\[d\vec{B_4} = -\frac{{\mu_0 \cdot I \cdot x \cdot y}}{{(y^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}}}\hat{k}\]

Теперь найдем сумму векторов магнитной индукции от каждого проводника в центре квадрата.
Суммарный вектор магнитной индукции:

\[\vec{B} = \vec{B_1} + \vec{B_2} + \vec{B_3} + \vec{B_4}\]

Так как вектор магнитной индукции должен быть перпендикулярен плоскости квадрата, он будет направлен вдоль оси \(z\) и его величину можно найти как модуль суммы компонент векторов магнитной индукции по этой оси:

\[B = \sqrt{{B_x^2 + B_y^2}}\]

Где \(B_x\) - компонента вектора магнитной индукции по оси \(x\) и \(B_y\) - компонента по оси \(y\).

Подставим значения в компоненты и найдем суммарное магнитное поле в центре квадрата:

\[B_x = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \, \text{Тл}\]

\[B_y = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot x \cdot y}}{{(y^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}}} - \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot x \cdot y}}{{(y^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}}} = 0 \, \text{Тл}\]

\[B = \sqrt{{0^2 + 0^2}} = 0 \, \text{Тл}\]

Таким образом, индукция магнитного поля в центре квадрата, по которому проходят четыре длинных прямых параллельных проводника, перпендикулярных плоскости, равна 0 Тл. Это означает, что в центре квадрата магнитное поле отменяется из-за симметрии расположения проводников и одинаковых токов.