Какова линейная плотность заряда полукольца, равномерно заряженного, если точечный заряд и полукольцо взаимодействуют

Yagnenok

52

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать закон Кулона и выражение для силы взаимодействия между точечными зарядами.

Закон Кулона гласит:
\[F = \dfrac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r^2}\]

где \(F\) - сила взаимодействия между зарядами,
\(k\) - постоянная Кулона (\(k = 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)),
\(q_1\) и \(q_2\) - заряды точечных зарядов,
\(r\) - расстояние между зарядами.

В данной задаче необходимо найти линейную плотность заряда полукольца, которую обозначим как \(\lambda\), поэтому давайте начнем с выражения силы взаимодействия между точечным зарядом и полукольцом.

Сила взаимодействия между точечным зарядом и полукольцом может быть записана как:
\[F = \dfrac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r^2}\]

Здесь \(q_1\) - это заряд точечного заряда в центре кривизны полукольца, а \(q_2\) - заряд любого элементарного заряда в полукольце. Расстояние \(r\) равно радиусу полукольца, так как точечный заряд находится в его центре.

Заменим известные значения:

\[6 \times 10^{-5} \, \text{Н} = \dfrac{(8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \cdot |q \cdot \lambda_0|}{(0.05 \, \text{м})^2}\]

Здесь \(q\) - это заряд точечного заряда в центре кривизны полукольца, а \(\lambda_0\) - линейная плотность заряда полукольца.

Теперь найдем значение \(\lambda_0\):

\[\lambda_0 = \dfrac{6 \times 10^{-5} \, \text{Н} \cdot (0.05 \, \text{м})^2}{(8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \cdot |3 \times 10^{-11}|}\]

Выполним вычисления:

\[\lambda_0 = \dfrac{6 \times 10^{-5} \, \text{Н} \cdot (0.05 \, \text{м})^2}{(8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \cdot 3 \times 10^{-11}}\]

\[\lambda_0 = \dfrac{6 \times 10^{-5} \, \text{Н} \cdot 0.0025 \, \text{м}^2}{(8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \cdot 3 \times 10^{-11}}\]

\[\lambda_0 = \dfrac{1.5 \times 10^{-7} \, \text{Н} \cdot \text{м}}{(8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \cdot 3 \times 10^{-11}}\]

\[\lambda_0 \approx 5.57 \times 10^{-11} \, \text{Кл/м}\]

Таким образом, линейная плотность заряда полукольца составляет примерно \(5.57 \times 10^{-11}\) кулонов на метр.