Какова линейная скорость движения центра масс обруча, который без скольжения скатывается по наклонной плоскости с углом

Суслик

69

Для решения этой задачи мы можем применить принцип сохранения механической энергии. Давайте разберемся подробнее.

В начальный момент времени обруч находится в состоянии покоя, поэтому его начальная кинетическая энергия \(E_{\text{к}} = 0\). Также задано, что начальная скорость обруча \(v_0 = 0\).

Центр масс обруча начинает двигаться по наклонной плоскости, и мы хотим найти его линейную скорость \(v\) в определенный момент времени.

Если применить принцип сохранения энергии, то механическая энергия системы (обруч + Земля) в начале и в конце движения должна быть одинаковой.

В начале движения обруч находится на высоте \(h\) над землей, а в конце движения он достигает земли. Поэтому механическая энергия в начале равна потенциальной энергии исходной высоты:

\[E_{\text{п}} = mgh\],

где \(m\) - масса обруча, \(g\) - ускорение свободного падения Земли, \(h\) - высота начального положения обруча.

В конце движения обруч касается земли, поэтому его потенциальная энергия равна нулю. Кинетическая энергия в этот момент состоит только из кинетической энергии вращения:

\[E_{\text{к}} = \frac{1}{2}I\omega^2\],

где \(I\) - момент инерции обруча относительно его оси вращения, \(\omega\) - угловая скорость обруча.

По условию задачи, обруч без скольжения скатывается, что означает, что энергия трансляционного движения пренебрежимо мала по сравнению с энергией вращения. Поэтому можно сказать, что \(E_{\text{к}} \approx \frac{1}{2}I\omega^2\).

Так как обруч скатывается без скольжения, то его момент инерции \(I\) относительно его оси вращения можно выразить через массу \(m\) и радиус обруча \(R\): \(I = \frac{1}{2}mR^2\).

Теперь мы можем записать уравнение сохранения энергии:

\[E_{\text{п}} = E_{\text{к}}\].

Подставим значения механической энергии и момента инерции в это уравнение:

\[mgh = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}mR^2 \cdot \omega^2.\]

Масса \(m\) сократится на обеих сторонах уравнения:

\[gh = \frac{1}{4}R^2 \cdot \omega^2.\]

Далее, воспользуемся связью между линейной скоростью и угловой скоростью для тела, которое без скольжения катится по наклонной плоскости: \(v = R\omega\).

Подставим \(v\) в уравнение:

\[gh = \frac{1}{4}R^2 \cdot \left(\frac{v}{R}\right)^2.\]

Упростим это уравнение:

\[gh = \frac{1}{4}v^2.\]

Теперь мы можем найти линейную скорость центра масс обруча, выразив ее из этого уравнения:

\[v = \sqrt{4gh}.\]

Окончательный ответ: линейная скорость движения центра масс обруча, который без скольжения скатывается по наклонной плоскости с углом наклона 30 градусов, равна \(\sqrt{4gh}\), где \(g\) - ускорение свободного падения Земли, а \(h\) - высота начального положения обруча.

Надеюсь, объяснение было понятным.