Какова максимальная энергия магнитного поля в колебательном контуре при изменении заряда конденсатора в соответствии

Yastrebka_5162

48

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу, связывающую энергию магнитного поля \(W_m\) с изменением заряда конденсатора \(q\) в колебательном контуре:

\[W_m = \frac{1}{2}L(i_2^2 - i_1^2)\]

где \(L\) - индуктивность контура, \(i_1\) и \(i_2\) - начальный и конечные значения тока соответственно. В нашем случае, \(i_1 = i_2 = i\), так как мы рассматриваем циклический процесс, и ток в контуре не меняется со временем.

Также, мы можем использовать формулу, связывающую изменение тока в контуре с изменением заряда конденсатора:

\[q = C \cdot \frac{di}{dt}\]

где \(C\) - емкость конденсатора, \(\frac{di}{dt}\) - скорость изменения тока в контуре.

Для начала найдем скорость изменения заряда конденсатора:

\[\frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt}(10^{-4}\cos(10\pi t)) = -10^{-4} \cdot 10\pi \sin(10\pi t)\]

Теперь, используя формулу связи между изменением заряда конденсатора и изменением тока в контуре, найдем:

\[\frac{di}{dt} = \frac{1}{C}\frac{dq}{dt} = \frac{-10^{-4} \cdot 10\pi \sin(10\pi t)}{10^{-6}} = -10^2 \pi \sin(10\pi t)\]

Теперь мы можем вычислить энергию магнитного поля в колебательном контуре. Так как ток не меняется со временем, то \(i_2 = i_1 = i\). Подставляя значения в формулу для энергии магнитного поля:

\[W_m = \frac{1}{2}L(i_2^2 - i_1^2) = \frac{1}{2}L(i^2 - i^2) = 0\]

Максимальная энергия магнитного поля в колебательном контуре при изменении заряда конденсатора в соответствии с законом \(q = 10^{-4} \cos(10\pi t)\) равна 0. Таким образом, в данной ситуации энергия магнитного поля не меняется.