Какова максимальная скорость шарика при колебаниях, если масса шарика составляет 100 г, а амплитуда колебаний равна

Dobryy_Lis_3001

28

Чтобы найти максимальную скорость шарика при колебаниях, мы можем использовать закон сохранения механической энергии. При колебаниях на пружине, энергия представляется в виде потенциальной и кинетической энергии.

Потенциальная энергия пружины \(U\) определяется формулой:
\[U = \frac{1}{2} kx^2\]
где \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(x\) - смещение от положения равновесия.

Кинетическая энергия \(K\) шарика определяется формулой:
\[K = \frac{1}{2} mv^2\]
где \(m\) - масса шарика, \(v\) - скорость шарика.

Согласно закону сохранения механической энергии, сумма потенциальной и кинетической энергии остается постоянной:
\[U + K = \text{const}\]

В максимальной точке колебаний (точка, где амплитуда максимальна), вся потенциальная энергия преобразуется в кинетическую, поэтому потенциальная энергия равна нулю. Следовательно:
\[K_{\text{макс}} = \text{const}\]

Теперь подставим известные значения в формулу для кинетической энергии:
\[K_{\text{макс}} = \frac{1}{2} mv_{\text{макс}}^2\]

Используем известные значения из задачи:
\(m = 100 \, \text{г} = 0.1 \, \text{кг}\)

Пошагово решим задачу:

1. Расчет потенциальной энергии:
\[U = \frac{1}{2} kx^2\]
Подставляем значения:
\[U = \frac{1}{2} \cdot 200 \, \text{Гц/м} \cdot (0.04 \, \text{м})^2\]
Выполняем расчет:
\[U = 0.16 \, \text{Дж}\]

2. Расчет максимальной кинетической энергии:
\[K_{\text{макс}} = U\]
\[\frac{1}{2} mv_{\text{макс}}^2 = 0.16 \, \text{Дж}\]
Подставляем значения:
\[\frac{1}{2} \cdot 0.1 \, \text{кг} \cdot v_{\text{макс}}^2 = 0.16 \, \text{Дж}\]
Выполняем расчет:
\[v_{\text{макс}}^2 = \frac{2 \cdot 0.16 \, \text{Дж}}{0.1 \, \text{кг}}\]
\[v_{\text{макс}}^2 = 3.2 \, \text{м}^2/\text{с}^2\]

3. Находим максимальную скорость:
\[v_{\text{макс}} = \sqrt{3.2 \, \text{м}^2/\text{с}^2}\]
Выполняем расчет:
\[v_{\text{макс}} \approx 1.79 \, \text{м/с}\]

Таким образом, максимальная скорость шарика при колебаниях составляет около \(1.79 \, \text{м/с}\).