На какую силу нужно увеличить действующую силу, чтобы потенциальная энергия пружины увеличилась в 4 раза, если один

Ледяная_Пустошь

2

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать закон Гука для пружин, который гласит, что потенциальная энергия (U) пружины прямо пропорциональна квадрату длины сжатия (x) и коэффициенту упругости пружины (k).

\[ U = \frac{1}{2} k x^2 \]

Из условия задачи известно, что потенциальная энергия пружины должна увеличиться в 4 раза. Обозначим это новое значение потенциальной энергии как \(U"\). Также известно, что один конец легкой пружины закреплен, а другой конец на ней приложена сила (F). Требуется найти силу, которую нужно приложить, чтобы достичь такого изменения потенциальной энергии.

Мы знаем, что потенциальная энергия пружины прямо пропорциональна квадрату длины сжатия. Поэтому соотношение между первоначальной и новой потенциальной энергией будет выглядеть следующим образом:

\[ \frac{U"}{U} = \frac{4U}{U} = 4 \]

Также мы знаем, что потенциальная энергия пружины выражается как половина произведения коэффициента упругости пружины и квадрата длины сжатия. Давайте обозначим коэффициент упругости пружины как \(k"\), а новое значение длины сжатия как \(x"\). Тогда мы можем записать следующее уравнение для новой потенциальной энергии:

\[ U" = \frac{1}{2} k" (x")^2 \]

Теперь мы можем записать соотношение между новой и первоначальной потенциальной энергией:

\[ \frac{U"}{U} = \frac{\frac{1}{2} k" (x")^2}{\frac{1}{2} k x^2} = \frac{k"}{k} \frac{(x")^2}{x^2} \]

Мы знаем, что это выражение равно 4, поэтому:

\[ \frac{k"}{k} \frac{(x")^2}{x^2} = 4 \]

Чтобы найти силу, которую нужно приложить, чтобы достичь данного изменения потенциальной энергии, нужно выразить \(k"\) через \(k\) и \(x"\) через \(x\). Обратимся к закону Гука:

\[ F = k x \]

\[ k = \frac{F}{x} \]

Используя это соотношение, мы можем выразить \(k"\) и \(x"\) через \(k\) и \(x\):

\[ k" = \frac{F}{x"} \]

\[ x" = \frac{U"}{\frac{1}{2} k" } = \frac{U"}{\frac{1}{2} \frac{F}{x"} } = \frac{2 U"}{F} \frac{1}{x"} \]

Теперь мы можем подставить эти значения в уравнение, связывающее \(k"\), \(k\), \(x"\) и \(x\):

\[ \frac{k"}{k} \frac{(x")^2}{x^2} = 4 \]

\[ \frac{\frac{F}{x"}}{\frac{F}{x}} \frac{\left(\frac{2 U"}{F} \frac{1}{x"}\right)^2}{x^2} = 4 \]

Разрешим данное уравнение:

\[ \frac{x^2}{x^2} = \frac{\left(\frac{2 U"}{F} \right)^2}{x"^2} \]

\[ 1 = \frac{4 U"^2}{F^2 x"^2} \]

\[ F^2 x"^2 = 4 U"^2 \]

\[ F x" = 2 U" \]

Таким образом, сила, которую нужно приложить, чтобы потенциальная энергия пружины увеличилась в 4 раза, равна \(2 U"\).

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как мы пришли к данному результату. Если остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!