Какова максимальная скорость тела, если его координата зависит от времени по закону x=2sin2t и выражена в метрах?

Пламенный_Змей

50

Дано: закон движения тела x = 2sin^2(t), где x - координата тела, t - время.

В данной задаче нам дан закон зависимости координаты тела от времени. Мы должны найти максимальную скорость тела.

Прежде чем перейти к решению, давайте вспомним некоторые основные понятия из физики.

Скорость - это физическая величина, определяющая изменение положения объекта в единицу времени. Если мы знаем зависимость координаты тела от времени, мы можем найти его скорость, найдя производную этой функции по времени.

Воспользуемся этим подходом для решения нашей задачи.

Возьмем производную функции x = 2sin^2(t) по времени t:

\(\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2sin^2(t))\)

Для удобства продолжим решение, заменяя \(sin^2(t)\) на \(1 - cos^2(t)\):

\(\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2(1 - cos^2(t)))\)

Раскроем скобки:

\(\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2 - 2cos^2(t))\)

Теперь возьмем производную:

\(\frac{dx}{dt} = 2 \cdot \frac{d}{dt}(1 - cos^2(t))\)

Так как производная постоянной равна нулю, получаем:

\(\frac{dx}{dt} = 2 \cdot 0 - 2 \cdot \frac{d}{dt}(cos^2(t))\)

Продолжаем вычисления, заменяя \(cos^2(t)\) на \(\frac{1 + cos(2t)}{2}\):

\(\frac{dx}{dt} = -2 \cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{1 + cos(2t)}{2}\right)\)

Раскроем скобки и продифференцируем функцию:

\(\frac{dx}{dt} = -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dt}\left(1 + cos(2t)\right)\)

Получаем:

\(\frac{dx}{dt} = -(1 + cos(2t))\)

Теперь у нас есть выражение для скорости тела. Чтобы найти максимальное значение скорости, мы должны найти момент времени, в котором \(|\frac{dx}{dt}|\) достигает своего максимума. Это происходит, когда \(cos(2t) = -1\), так как мы имеем отрицательный знак перед \(cos(2t)\).

Мы знаем, что \(cos(2t) = -1\) имеет два решения: \(2t = \pi\) и \(2t = 2\pi\), откуда получаем \(t = \frac{\pi}{2}\) и \(t = \frac{2\pi}{2}\).

Таким образом, максимальная скорость тела достигается в моменты времени \(t = \frac{\pi}{2}\) и \(t = \pi\).

Теперь, чтобы найти максимальную скорость, мы подставим эти значения времени в формулу скорости:

\(\frac{dx}{dt} = -(1 + cos(2 \cdot \frac{\pi}{2})) = -(1 + cos(\pi)) = -(1 - 1) = 0\)

\(\frac{dx}{dt} = -(1 + cos(2\pi)) = -(1 + 1) = -2\)

Таким образом, максимальная скорость тела составляет -2 м/с (в отрицательном направлении).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти максимальную скорость тела при заданном законе движения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!