Какова максимальная спектральная плотность энергетической светимости вольфрамового шарика, нагретого до 3000K (с учетом

Полина

63

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся следующие формулы:

Формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости:

\[B(\lambda, T) = \frac{{2hc^2}}{{\lambda^5}} \cdot \frac{1}{{e^{\frac{{hc}}{{\lambda kT}}} - 1}}\]

где:
- \(B(\lambda, T)\) - спектральная плотность энергетической светимости волны с длиной волны \(\lambda\) при температуре \(T\)
- \(h\) - постоянная Планка (\(6.62607015 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}\))
- \(c\) - скорость света (\(3 \times 10^8 \, \text{м/с}\))
- \(k\) - постоянная Больцмана (\(1.380649 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}\))
- \(T\) - температура абсолютная в Кельвинах

Коэффициент серости (\(\epsilon\)) определяет способность поверхности поглощать и испускать энергию. В данной задаче коэффициент серости \(0.334\).

Для нахождения максимальной спектральной плотности энергетической светимости вольфрамового шарика, нагретого до температуры \(3000 \, \text{K}\), нужно найти максимальное значение \(B(\lambda, T)\) при заданной температуре.

Максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости достигается при длине волны, соответствующей пиковой эмиссии (это соответствует наибольшему значению величины \(B(\lambda, T)\)). С помощью закона смещения Вина мы можем найти длину волны пиковой эмиссии (\(\lambda_{\text{пик}}\)):

\[\lambda_{\text{пик}} = \frac{b}{T}\]

где:
- \(b\) - константа смещения Вина (\(2.897771955 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К}\))

Подставив значения в формулу, найдем пиковую длину волны:

\[\lambda_{\text{пик}} = \frac{{2.897771955 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К}}}{{3000 \, \text{К}}} \approx 9.659 × 10^{-7} \, \text{м} \]

Теперь, чтобы найти максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости (\(B_{\text{пик}}\)), подставим значение пиковой длины в формулу Планка:

\[B_{\text{пик}} = \frac{{2hc^2}}{{\lambda_{\text{пик}}^5}} \cdot \frac{1}{{e^{\frac{{hc}}{{\lambda_{\text{пик}}} \cdot k \cdot T}}} - 1}\]

Подставим значения:

\[B_{\text{пик}} = \frac{{2 \cdot 6.62607015 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с} \cdot (3 \times 10^8 \, \text{м/с})^2}}{{(9.659 × 10^{-7} \, \text{м})^5}} \cdot \frac{1}{{e^{\frac{{6.62607015 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с} \cdot (3 \times 10^8 \, \text{м/с})}}{{9.659 × 10^{-7} \, \text{м}} \cdot (1.380649 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}) \cdot 3000 \, \text{К}}}} - 1}\]

Произведя все необходимые вычисления, мы получим максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости вольфрамового шарика при температуре 3000K с учетом коэффициента серости 0,334.