Какое расстояние раздвинутся бруски после столкновения, если брусок, двигавшийся со скоростью v0, столкнулся

Золотой_Ключ

1

Давайте решим задачу о раздвижении брусков после столкновения.

Обозначим начальную скорость движения первого бруска \(v_0\) и массу первого бруска \(m_1\). Также обозначим массу второго бруска как \(m_2\), где \(m_2\) равна четверти массы первого бруска, то есть \(m_2 = \frac{m_1}{4}\). Пусть после столкновения первый бруск остановится, а второй бруск приобретет скорость \(v_2\).

В центральном ударе сохраняется импульс системы, поэтому масса и скорость первого бруска до столкновения равны массе и скорости первого бруска после столкновения, а масса и скорость второго бруска до столкновения равны массе и скорости второго бруска после столкновения. Поэтому имеем следующее уравнение сохранения импульса:

\[m_1 \cdot v_0 = m_1 \cdot 0 + m_2 \cdot v_2\]

Так как \(m_2 = \frac{m_1}{4}\), упростим это уравнение:

\[v_0 = \frac{1}{4} \cdot v_2\]

Теперь можем решить уравнение относительно \(v_2\):

\[v_2 = 4 \cdot v_0\]

Таким образом, скорость второго бруска после столкновения будет равна четырем начальным скоростям первого бруска.

Чтобы найти расстояние, на которое раздвинутся бруски, воспользуемся законом сохранения механической энергии. Поскольку стол остается неподвижным и коэффициенты трения брусков одинаковы, предположим, что трение не играет роли в этой задаче.

Энергия системы до столкновения равна энергии системы после столкновения. Перед столкновением первый бруск имеет кинетическую энергию, равную \(\frac{1}{2} m_1 v_0^2\), а после столкновения эта энергия уходит на раздвижение брусков. Учитывая, что энергия распределена между двумя брусками, получаем:

\[\frac{1}{2} m_1 v_0^2 = \frac{1}{2} m_1 \Delta x_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \Delta x_2^2\]

Где \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) - сдвиги брусков после столкновения.

Подставив \(m_2 = \frac{m_1}{4}\) и \(v_2 = 4v_0\), получаем:

\[\frac{1}{2} m_1 v_0^2 = \frac{1}{2} m_1 \Delta x_1^2 + \frac{1}{2} \frac{m_1}{4} \Delta x_2^2\]

Упростим это уравнение:

\[v_0^2 = \Delta x_1^2 + \frac{1}{16} \Delta x_2^2\]

Теперь найдем значение \(\Delta x_2\). Поскольку \(\Delta x_2\) - это смещение второго бруска после столкновения, а первый бруск останавливается, получаем:

\[\Delta x_2 = 0 - \Delta x_1\]

Подставив это в предыдущее уравнение, получаем:

\[v_0^2 = \Delta x_1^2 + \frac{1}{16} (-\Delta x_1)^2\]

Раскроем скобки и упростим:

\[v_0^2 = \Delta x_1^2 + \frac{1}{16} \Delta x_1^2\]

Общий знаменатель позволяет суммировать слагаемые:

\[v_0^2 = \frac{17}{16} \Delta x_1^2\]

Теперь найдем сдвиг первого бруска \(\Delta x_1\):

\[\Delta x_1^2 = \frac{16}{17} v_0^2\]

\[\Delta x_1 = \sqrt{\frac{16}{17} v_0^2}\]

Используя числовые значения для величин, мы можем найти необходимое расстояние:

\[\Delta x_1 = \sqrt{\frac{16}{17} \cdot v_0^2}\]

\[\Delta x_1 = \sqrt{\frac{16}{17} \cdot (v_0)^2}\]

\[\Delta x_1 = \sqrt{\frac{16}{17}} \cdot v_0\]

Итак, расстояние, на которое раздвинутся бруски после столкновения составит \(\sqrt{\frac{16}{17}}\) умножить на начальную скорость первого бруска \(v_0\).