Какова масса мяча, если он падает с высоты 1,6 м и, сталкиваясь с горизонтальным полом, теряет 10% своего импульса

Ястреб

46

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать законы сохранения. Мы можем использовать закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса.

1. Рассмотрим закон сохранения механической энергии. Изначально мяч находится на высоте 1,6 м, значит его потенциальная энергия равна \(mgh\), где \(m\) - масса мяча, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота. При ударе о горизонтальное поле мяч теряет свою потенциальную энергию, но приобретает кинетическую энергию, которую можно выразить как \(\frac{1}{2}mv^2\), где \(v\) - скорость мяча после удара.

2. Поскольку в задаче сказано, что мяч теряет 10% своего импульса, это означает, что у его скорости после удара будет оставаться 90% от исходной скорости.

3. Теперь мы можем записать уравнение, используя закон сохранения механической энергии:

\[\frac{1}{2}mv^2 = mgh\]

4. Также, поскольку мяч теряет 10% своего импульса, мы можем записать уравнение, используя закон сохранения импульса:

\(0.9mv = mv_1\), где \(v_1\) - скорость мяча после удара.

5. Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными - массой мяча \(m\) и его скоростью после удара \(v\). Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения неизвестных.

6. Решая уравнение сохранения механической энергии, у нас есть:

\[\frac{1}{2}mv^2 = mgh\]

\[\frac{1}{2}v^2 = gh\]

\[v^2 = 2gh\]

\[v = \sqrt{2gh}\]

7. Подставив выражение для \(v\) во второе уравнение сохранения импульса:

\(0.9m \cdot \sqrt{2gh} = mv_1\)

Отсюда можно получить:

\(v_1 = 0.9 \cdot \sqrt{2gh}\)

8. Возвращаясь к первому уравнению, мы можем выразить массу мяча \(m\):

\(\frac{1}{2}mv^2 = mgh\)

\(m = \frac{2gh}{v^2}\)

9. Подставим выражение для \(m\) в уравнение для \(v_1\):

\(v_1 = 0.9 \cdot \sqrt{2gh}\)

\(v_1 = 0.9 \cdot \sqrt{2gh} = 0.9 \cdot \sqrt{2gh} \cdot \frac{v^2}{2gh}\)

\(v_1 = 0.9 \cdot v\)

10. Теперь, зная что \(v_1 = 0.9v\), мы можем подставить значение \(v_1\) в уравнение и решить его:

\(0.9v = 0.9v\)

11. Таким образом, получаем, что скорость мяча после удара (\(v_1\)) равна исходной скорости мяча (\(v\)). Это означает, что скорость мяча после удара не изменяется.

12. Наконец, чтобы найти массу мяча (\(m\)), мы можем использовать выражение:

\(m = \frac{{2gh}}{{v^2}}\)

Подставляем изначальное значение высоты \(h = 1,6\) м и ускорение свободного падения \(g = 9,8 \, \text{\(м/с^2\)}\):

\(m = \frac{{(2 \cdot 9,8 \, \text{\(м/с^2\)}) \cdot 1,6 \, \text{м}}}{{v^2}}\)

13. Но поскольку у нас нет значения для скорости \(v\), мы не можем искать точное значение массы мяча (\(m\)). Тем не менее, с помощью предыдущих вычислений мы знаем, что изменение импульса мяча и выделение теплоты не влияют на его скорость после удара.

Таким образом, масса мяча (\(m\)) остается неизменной.