Какова масса первого шарика, если он неподвижно висит на шелковой нити с зарядом 4 мкКл и приближающийся к нему второй

Zolotoy_Orel

41

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать закон Кулона, который формулируется следующим образом:

\[F = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r^2}}\]

где F - сила взаимодействия между двумя заряженными объектами, k - постоянная Кулона (равна примерно \(9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)), \(q_1\) и \(q_2\) - заряды первого и второго шариков соответственно, и \(r\) - расстояние между шариками.

В данной задаче у нас есть информация о зарядах и изменении силы натяжения нити. Сначала найдем начальную силу натяжения нити, когда шарик неподвижно висит. Поскольку он не двигается, то сила натяжения будет равна силе притяжения гравитацией, равной \(mg\), где \(m\) - масса шарика, а \(g\) - ускорение свободного падения (примерно \(9,8 \, \text{м/с}^2\)).

Когда к первому шарику приближается второй шарик, сила натяжения нити увеличивается вдвое. Зная, что сила натяжения нити пропорциональна заряду второго шарика, можем записать:

\[T_2 = 2T_1\]

Теперь воспользуемся законом Кулона, чтобы выразить силу натяжения через заряды и расстояние:

\[\frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r^2_1}} = T_1\]
\[\frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r^2_2}} = T_2\]

Поскольку \(T_2 = 2T_1\), можем записать:

\[\frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r^2_2}} = 2 \cdot \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r^2_1}}\]

Поделим обе части равенства на \(q_1 \cdot q_2\) и перегруппируем:

\[\frac{1}{{r^2_2}} = 2 \cdot \frac{1}{{r^2_1}}\]
\[\frac{1}{{r^2_2}} - 2 \cdot \frac{1}{{r^2_1}} = 0\]

Теперь воспользуемся информацией о расстоянии между шариками. Пусть \(l\) - это расстояние между шариками при начальном положении (когда второй шарик еще не приблизился), а \(x\) - это расстояние между шариками после приближения. Тогда можем записать:

\[r^2_1 = l^2\]
\[r^2_2 = x^2\]

Подставим эти значения в предыдущее уравнение и решим его:

\[\frac{1}{{x^2}} - 2 \cdot \frac{1}{{l^2}} = 0\]
\[\frac{1}{{x^2}} = 2 \cdot \frac{1}{{l^2}}\]
\[l^2 = 2x^2\]
\[x^2 = \frac{{l^2}}{2}\]
\[x = \frac{{l}}{{\sqrt{2}}}\]

Теперь, когда мы нашли значение расстояния \(x\), можем использовать закон Кулона для вычисления заряда второго шарика. Подставим значения силы, зарядов и расстояния в уравнение:

\[\frac{{k \cdot q_1 \cdot (-100 \, \text{уКл})}}{{(\frac{{l}}{{\sqrt{2}}})^2}} = T_2\]

Также, чтобы найти массу первого шарика, мы можем использовать равенство силы натяжения и силы притяжения гравитацией:

\[mg = T_1\]

Выразим массу \(m\):

\[m = \frac{{T_1}}{{g}}\]

Теперь, зная \(T_1\), можем вычислить массу первого шарика.

Пожалуйста, предоставьте значение начальной длины \(l\) нити, чтобы я мог продолжить решение этой задачи.