Какова масса пробки (в граммах), если максимальное отклонение нити от вертикали составляет 60°, а пробка вылетает

Sharik

22

на 10^3 для перевода килограммов в граммы).

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения энергии и механики. Давайте начнем сначала.

Когда пробка вылетает из пробирки, она имеет кинетическую энергию, которая равна половине произведения ее массы на квадрат скорости:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

Здесь \(m\) - масса пробки в килограммах, \(v\) - скорость в м/с. В нашем случае, \(v = 4\) м/с.

Кроме того, когда пробка находится в положении максимального отклонения, она имеет потенциальную энергию, которая равна работе, совершенной внешними силами для перемещения пробки от вертикального положения на эту высоту. Потенциальная энергия определяется формулой:

\[E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h\]

Здесь \(g\) - ускорение свободного падения, примерное значение которого составляет \(9,8\) м/с^2, а \(h\) - высота подъема пробки при максимальном отклонении нити.

Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергий должна оставаться постоянной. То есть:

\[E_{\text{кин}} = E_{\text{пот}}\]

Подставляя выражения для кинетической и потенциальной энергии и решая уравнение относительно \(m\), мы можем найти массу пробки:

\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h\]

\[m \cdot v^2 = 2 \cdot m \cdot g \cdot h\]

\[v^2 = 2 \cdot g \cdot h\]

\[m = \frac{v^2}{2 \cdot g \cdot h}\]

Теперь нам необходимо найти значение высоты подъема пробки при максимальном отклонении нити от вертикали. Для этого нам понадобится знание геометрии и тригонометрии.

Мы знаем, что максимальное отклонение нити составляет 60°. Если мы проведем ось отклонения нити к вертикале, у нас возникнет равнобедренный треугольник. Угол между нитью и осью составит 60°, поэтому углы на оси будут по 60°. Также, у нас будет равенство между сторонами, так как треугольник равнобедренный. Пусть \(L\) - длина нити до центра пробирки, тогда стороны равнобедренного треугольника можно обозначить как \(L\), \(L\) и \(h\).

Мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения значения \(h\). Для прямоугольного треугольника с углом 60° можем применить следующее:

\[\sin(60°) = \frac{h}{L}\]

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{L}\]

\[h = \frac{L \cdot \sqrt{3}}{2}\]

Теперь у нас есть значение \(h\). Мы можем подставить это значение в предыдущее уравнение для нахождения массы \(m\):

\[m = \frac{v^2}{2 \cdot g \cdot h} = \frac{16}{2 \cdot 9,8 \cdot \frac{L \cdot \sqrt{3}}{2}}\]

Далее, нам нужно учесть, что нам дана скорость в м/с, но результат необходимо выразить в граммах. Мы знаем, что \(1\) кг = \(1000\) г, поэтому ответ нужно умножить на \(10^3\):

\[m_{\text{в граммах}} = m_{\text{в килограммах}} \cdot 10^3\]

Аналогично можно записать выражение для массы \(m_{\text{в килограммах}}\) в граммах:

\[m_{\text{в килограммах}} = m_{\text{в граммах}} \cdot 10^{-3}\]

Таким образом, чтобы найти массу пробки в граммах, нам нужно решить предыдущее уравнение и умножить его результат на \(10^3\). Решение этого уравнения может потребовать использования калькулятора, так как в нем присутствуют численные значения.