Какова масса Солнца, если известно, что Земля движется вокруг него со скоростью 30 км/с, а среднее расстояние до Солнца

Chudo_Zhenschina

45

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится применить второй закон Кеплера и закон всемирного тяготения.

Второй закон Кеплера указывает на то, что планеты движутся по эллиптическим орбитам вокруг Солнца. Кроме того, закон всемирного тяготения гласит, что сила притяжения между двумя телами пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Сначала мы рассчитаем массу Земли, используя известную скорость и расстояние до Солнца. Здесь мы можем применить закон всемирного тяготения. Формула для силы притяжения между Землей и Солнцем выглядит следующим образом:

\[F = \frac{{G \cdot M_S \cdot M_E}}{{r^2}}\]

где:
\(F\) - сила притяжения между Землей и Солнцем
\(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\))
\(M_S\) - масса Солнца (что нам нужно найти)
\(M_E\) - масса Земли (\(5.97 \times 10^{24} \, \text{кг}\))
\(r\) - среднее расстояние между Землей и Солнцем (\(1.5 \times 10^8 \, \text{км} = 1.5 \times 10^{11} \, \text{м}\))

Мы также знаем, что сила притяжения является центростремительной силой, равной массе планеты умноженной на ускорение планеты движения на орбите. Ускорение можно выразить как \(a = \frac{{v^2}}{{r}}\), где \(v\) - скорость Земли (30 км/с) и \(r\) - расстояние от Земли до Солнца (1.5 × 10^11 м).

Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила равна произведению массы планеты и ее ускорения. Поэтому мы можем записать следующее:

\[F = M_E \cdot a\]
\[M_S \cdot \frac{{G \cdot M_S \cdot M_E}}{{r^2}} = M_E \cdot \frac{{v^2}}{{r}}\]

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно массы Солнца (\(M_S\)).

\[\frac{{G \cdot M_S \cdot M_E}}{{r^2}} = \frac{{M_E \cdot v^2}}{{r}}\]
\[G \cdot M_S = \frac{{M_E \cdot v^2 \cdot r}}{{r^2}}\]
\[M_S = \frac{{M_E \cdot v^2 \cdot r}}{{G \cdot r^2}}\]

Подставим известные значения и решим эту формулу:

\[M_S = \frac{{(5.97 \times 10^{24} \, \text{кг}) \cdot (30 \times 10^3 \, \text{м/с})^2 \cdot (1.5 \times 10^{11} \, \text{м})}}{{(6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)) \cdot (1.5 \times 10^{11} \, \text{м})^2}}\]

Теперь давайте посчитаем это значение:

\[M_S = \frac{{5.97 \times 10^{24} \, \text{кг} \cdot 9.0 \times 10^8 \, \text{м}^2/\text{с}^2}}{{2.5125 \times 10^{-3} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2}}\]

Масса Солнца (\(M_S\)) равна примерно \(1.989 \times 10^{30} \, \text{кг}\).

Таким образом, масса Солнца составляет примерно \(1.989 \times 10^{30} \, \text{кг}\).