Якій буде зменшена швидкість руху супутника Землі після переміщення з висоти 100 км на висоту 400 км? Припускаємо

Эдуард

7

Щоб відповісти на це питання, нам потрібно використати закон всесвітнього тяжіння та принцип збереження механічної енергії. Давайте почнемо.

Перш ніж почати розв"язування задачі, давайте обчислимо радіуси руху супутників на висоті 100 км та 400 км від земної поверхні. Зазначено, що радіус Землі становить 6400 км.

1. Радіус руху на висоті 100 км:
Радіус Землі + висота супутника = 6400 км + 100 км = 6500 км.

2. Радіус руху на висоті 400 км:
Радіус Землі + висота супутника = 6400 км + 400 км = 6800 км.

Тепер, коли у нас є вихідні дані, ми можемо порівняти дві швидкості руху супутника на різних висотах.

Закон всесвітнього тяжіння каже нам, що сила тяжіння прямопропорційна масі тіла і обернено пропорційна квадрату відстані до центру Землі. Також, ми знаємо, що сила тяжіння забезпечує центростремительну силу необхідну для утримання руху супутника в коловій орбіті.

Механічна енергія супутника залишається постійною на всій орбіті. Це означає, що сума потенціальної та кінетичної енергії супутника залишається незмінною.

Формула для кінетичної енергії супутника:
\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]
де \( m \) - маса супутника,
\( v \) - швидкість супутника.

Формула для потенціальної енергії супутника на висоті \( h \) над земною поверхнею:
\[ E_p = m g h \]
де \( g \) - прискорення вільного падіння,
\( h \) - висота супутника над земною поверхнею.

Знаючи, що механічна енергія залишається незмінною, можемо записати рівняння:
\[ E_k + E_p = \text{const} \]
\[ \frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1 = \frac{1}{2} m v_2^2 + m g h_2 \]
де \( v_1 \) та \( v_2 \) - швидкості супутника на початковій (100 км) та кінцевій (400 км) висоті відповідно,
\( h_1 \) та \( h_2 \) - висоти супутника на початковій (100 км) та кінцевій (400 км) висоті відповідно.

Зауважте, що маса супутника з"являється в обох частинах рівняння. Тому ми можемо спростити рівняння, поділивши всі терміни на масу супутника:
\[ \frac{1}{2} v_1^2 + g h_1 = \frac{1}{2} v_2^2 + g h_2 \]

Тепер ми можемо вирішити це рівняння для знаходження \( v_2 \), швидкості супутника на висоті 400 км.

1. Підставимо відомі значення:
\[ \frac{1}{2} v_1^2 + g h_1 = \frac{1}{2} v_2^2 + g h_2 \]
\[ \frac{1}{2} (v_1)^2 + 9.8 \cdot 10^3 \cdot 100 = \frac{1}{2} (v_2)^2 + 9.8 \cdot 10^3 \cdot 400 \]

2. Поділимо обидві частини рівняння на \(\frac{1}{2}\):
\[ (v_1)^2 + 2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 100 = (v_2)^2 + 2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 400 \]

3. Віднімемо \(2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 100\) з обох боків рівняння:
\[ (v_1)^2 = (v_2)^2 + 2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 300 \]

4. Віднімемо \((v_2)^2\) з обох боків рівняння:
\[ (v_1)^2 - (v_2)^2 = 2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 300 \]

5. Обчислимо різницю квадратів:
\[ (v_1 + v_2)(v_1 - v_2) = 2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 300 \]

Тепер ми можемо знайти різницю швидкостей \( v_1 - v_2 \):
\[ v_1 - v_2 = \frac{2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 300}{v_1 + v_2} \]

6. Підставимо відомі значення:
\[ v_1 - v_2 = \frac{2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 300}{v_1 + v_2} \]
\[ v_1 + v_2 = \frac{2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 300}{v_1 - v_2} \]

7. Помножимо обидві частини рівняння на \((v_1 - v_2)\):
\[ (v_1 - v_2)(v_1 + v_2) = 2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 300 \]

8. Використаємо різницю квадратів:
\[ (v_1)^2 - (v_2)^2 = 2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 300 \]

9. Обчислимо \( (v_1)^2 - (v_2)^2 \):
\[ v_1^2 = (v_2)^2 + 2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 300 \]

Тепер ми можемо знайти \( v_2 \), швидкість супутника на висоті 400 км.

10. Обчислимо \( v_2 \):
\[ v_2 = \sqrt{v_1^2 - 2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 300} \]

11. Підставимо відоме значення \( v_1 \):
\[ v_2 = \sqrt{(v_1)^2 - 2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 300} \]

Отже, якщо ви розв"яжете попереднє рівняння, підставивши відповідні значення, ви зможете знайти швидкість супутника на висоті 400 км. Це можна виконати, використовуючи ваш калькулятор або математичне програмне забезпечення.

Запишемо остаточний результат нашого розв"язку:
Швидкість руху супутника на висоті 400 км буде рівна \[ v_2 = \sqrt{(v_1)^2 - 2 \cdot 9.8 \cdot 10^3 \cdot 300} \]

Будь ласка, врахуйте, що ця відповідь математично складна і її можна розв"язати за допомогою обчислювальних засобів.