Какова масса стержня длиной 100 см, если его линейная плотность задана уравнением β = 20x + 0.15x^2 г/см, где

Blestyaschaya_Koroleva

39

Для решения данной задачи, нам необходимо выразить массу стержня через его линейную плотность и длину. Имея уравнение для линейной плотности β = 20х + 0.15х^2 г/см, найдем функцию линейной плотности в зависимости от x.

Мы знаем, что линейная плотность d равна массе стержня (m) поделенной на его длину (L). То есть, d = m/L. Для данной задачи мы можем использовать математическую определенность интегралов для решения.

Поделим стержень на бесконечно маленькие частицы dx, каждая из которых имеет линейную плотность β = 20х + 0.15х^2 г/см. Затем мы можем записать массу каждой частицы как dm = β * dx. Интегрируем это уравнение по всей длине стержня от 0 до L для нахождения общей массы стержня.

Интегрируя уравнение, мы получаем:

\[m = \int_{0}^{L} (20x + 0.15x^2) dx\]

Раскроем скобки:

\[m = \int_{0}^{L} 20x dx + \int_{0}^{L} 0.15x^2 dx\]

Вычислим каждый из интегралов:

\[m = 20\int_{0}^{L} x dx + 0.15\int_{0}^{L} x^2 dx\]

Интегрируя, получим:

\[m = 20 \cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{L} + 0.15 \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{L}\]

Вычисляя значения в скобках:

\[m = 20 \cdot \frac{L^2}{2} + 0.15 \cdot \frac{L^3}{3}\]

Упростим эту формулу:

\[m = 10L^2 + 0.05L^3\]

Таким образом, масса стержня длиной 100 см при линейной плотности, заданной уравнением β = 20x + 0.15x^2 г/см, будет равна \(10 \cdot (100)^2 + 0.05 \cdot (100)^3 = 100000 + 500000 = 600000\) граммов.