Какова масса второго спутника, если два искусственных спутника движутся вокруг однородной сферической планеты
Какова масса второго спутника, если два искусственных спутника движутся вокруг однородной сферической планеты по круговым орбитам, радиус орбиты первого спутника составляет 800 км, масса первого спутника - 50 кг, а радиус орбиты второго спутника - 1600 км, и спутники притягиваются к планете с одинаковыми по модулю силами?
Letuchaya_Mysh 29
Для решения данной задачи воспользуемся законом всемирного тяготения, который утверждает, что массы двух тел пропорциональны произведению силы их притяжения и квадрата расстояния между ними.Формула для силы притяжения между телами имеет вид:
\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]
где F - сила притяжения, G - гравитационная постоянная (приближенное значение \(6.67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\)), \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел, \(r\) - расстояние между телами.
Так как спутники движутся по круговым орбитам, то сила притяжения планеты и спутника будет представлять собой центростремительную силу и будет равна по модулю \(F = \frac{{m \cdot v^2}}{r}\), где \(m\) - масса спутника, \(v\) - линейная скорость спутника, \(r\) - радиус орбиты спутника.
Первый спутник движется по орбите радиусом 800 км. По условию известно, что масса первого спутника \(m_1\) составляет 50 кг.
Масса первого и второго спутника одинакова (по условию), поэтому \(m_1 = m_2 = m\)
Также по условию известно, что силы, с которой спутники притягиваются к планете, одинаковы по модулю.
Сравнивая формулы силы притяжения и центростремительной силы, можно записать следующее равенство:
\[\frac{{G \cdot m \cdot m_1}}{{r_1^2}} = \frac{{m \cdot v^2}}{{r_2}}\]
где \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы орбит первого и второго спутника соответственно.
Можно упростить данное уравнение:
\[\frac{{G \cdot m \cdot 50}}{{(800000)^2}} = \frac{{m \cdot v^2}}{{1600000}}\]
В данном уравнении масса спутника \(m\) сократится. Решим данное уравнение относительно \(m\):
\[\frac{{G \cdot 50}}{{800000^2}} = \frac{{v^2}}{{1600000}}\]
Умножим обе части уравнения на \(1600000\) и перенесем всё в одну часть:
\[G \cdot 50 \cdot 1600000 - v^2 \cdot 800000^2 = 0\]
Выразим \(v^2\):
\[v^2 = G \cdot 50 \cdot 1600000 / 800000^2\]
Вычислим \(v^2\):
\[v^2 \approx G \cdot 50 \cdot 2 = 0.0001334 \, \text{м}^3/\text{с}^2\]
Теперь найдем массу второго спутника. Для этого нам понадобится знание о линейной скорости:
\[v = \frac{{2 \cdot \pi \cdot r_2}}{{T_2}}\]
где \(T_2\) - период обращения второго спутника.
Чтобы упростить вычисления, найдем \(\pi \cdot r_2\) и подставим значение \(v^2\):
\(\pi \cdot r_2 = \sqrt{{\frac{{v^2 \cdot T_2^2}}{4}}}\)
Зная, что радиус орбиты второго спутника составляет 1600 км (\(r_2 = 1600000\) м), мы можем посчитать \(v^2 \cdot T_2^2 / 4\):
\(\frac{{v^2 \cdot T_2^2}}{4} \approx 0.0001334 \cdot T_2^2 / 4\)
Теперь найдем массу второго спутника. Подставим все значения в формулу:
\[\frac{{G \cdot 50 \cdot 1600000}}{{\sqrt{{\frac{{v^2 \cdot T_2^2}}{4}}}}}\]
Раскроем скобки в знаменателе:
\[\frac{{G \cdot 50 \cdot 1600000}}{{\sqrt{{0.0001334 \cdot T_2^2}}}}\]
Вычислим значение под корнем: \(0.0001334 \cdot T_2^2\) и извлечем корень:
\[\sqrt{{0.0001334 \cdot T_2^2}} \approx 0.011547 \cdot T_2\]
Теперь подставим это значение в исходную формулу:
\[\frac{{G \cdot 50 \cdot 1600000}}{{0.011547 \cdot T_2}}\]
Упростим выражение:
\[\frac{{G \cdot 80000}}{{0.011547}} \cdot \frac{1}{{T_2}}\]
Таким образом, масса второго спутника составляет:
\[\frac{{G \cdot 80000}}{{0.011547}} \cdot \frac{1}{{T_2}}\, \text{кг}\]
Предоставлеными в условии задания данными не содержат информации о периоде обращения второго спутника, поэтому дополнительные данные необходимы для получения конкретного значения массы второго спутника.