Какова масса второго спутника, если два искусственных спутника движутся вокруг однородной сферической планеты

Letuchaya_Mysh

29

Для решения данной задачи воспользуемся законом всемирного тяготения, который утверждает, что массы двух тел пропорциональны произведению силы их притяжения и квадрата расстояния между ними.

Формула для силы притяжения между телами имеет вид:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где F - сила притяжения, G - гравитационная постоянная (приближенное значение \(6.67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\)), \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел, \(r\) - расстояние между телами.

Так как спутники движутся по круговым орбитам, то сила притяжения планеты и спутника будет представлять собой центростремительную силу и будет равна по модулю \(F = \frac{{m \cdot v^2}}{r}\), где \(m\) - масса спутника, \(v\) - линейная скорость спутника, \(r\) - радиус орбиты спутника.

Первый спутник движется по орбите радиусом 800 км. По условию известно, что масса первого спутника \(m_1\) составляет 50 кг.

Масса первого и второго спутника одинакова (по условию), поэтому \(m_1 = m_2 = m\)

Также по условию известно, что силы, с которой спутники притягиваются к планете, одинаковы по модулю.

Сравнивая формулы силы притяжения и центростремительной силы, можно записать следующее равенство:

\[\frac{{G \cdot m \cdot m_1}}{{r_1^2}} = \frac{{m \cdot v^2}}{{r_2}}\]

где \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы орбит первого и второго спутника соответственно.

Можно упростить данное уравнение:

\[\frac{{G \cdot m \cdot 50}}{{(800000)^2}} = \frac{{m \cdot v^2}}{{1600000}}\]

В данном уравнении масса спутника \(m\) сократится. Решим данное уравнение относительно \(m\):

\[\frac{{G \cdot 50}}{{800000^2}} = \frac{{v^2}}{{1600000}}\]

Умножим обе части уравнения на \(1600000\) и перенесем всё в одну часть:

\[G \cdot 50 \cdot 1600000 - v^2 \cdot 800000^2 = 0\]

Выразим \(v^2\):

\[v^2 = G \cdot 50 \cdot 1600000 / 800000^2\]

Вычислим \(v^2\):

\[v^2 \approx G \cdot 50 \cdot 2 = 0.0001334 \, \text{м}^3/\text{с}^2\]

Теперь найдем массу второго спутника. Для этого нам понадобится знание о линейной скорости:

\[v = \frac{{2 \cdot \pi \cdot r_2}}{{T_2}}\]

где \(T_2\) - период обращения второго спутника.

Чтобы упростить вычисления, найдем \(\pi \cdot r_2\) и подставим значение \(v^2\):

\(\pi \cdot r_2 = \sqrt{{\frac{{v^2 \cdot T_2^2}}{4}}}\)

Зная, что радиус орбиты второго спутника составляет 1600 км (\(r_2 = 1600000\) м), мы можем посчитать \(v^2 \cdot T_2^2 / 4\):

\(\frac{{v^2 \cdot T_2^2}}{4} \approx 0.0001334 \cdot T_2^2 / 4\)

Теперь найдем массу второго спутника. Подставим все значения в формулу:

\[\frac{{G \cdot 50 \cdot 1600000}}{{\sqrt{{\frac{{v^2 \cdot T_2^2}}{4}}}}}\]

Раскроем скобки в знаменателе:

\[\frac{{G \cdot 50 \cdot 1600000}}{{\sqrt{{0.0001334 \cdot T_2^2}}}}\]

Вычислим значение под корнем: \(0.0001334 \cdot T_2^2\) и извлечем корень:

\[\sqrt{{0.0001334 \cdot T_2^2}} \approx 0.011547 \cdot T_2\]

Теперь подставим это значение в исходную формулу:

\[\frac{{G \cdot 50 \cdot 1600000}}{{0.011547 \cdot T_2}}\]

Упростим выражение:

\[\frac{{G \cdot 80000}}{{0.011547}} \cdot \frac{1}{{T_2}}\]

Таким образом, масса второго спутника составляет:

\[\frac{{G \cdot 80000}}{{0.011547}} \cdot \frac{1}{{T_2}}\, \text{кг}\]

Предоставлеными в условии задания данными не содержат информации о периоде обращения второго спутника, поэтому дополнительные данные необходимы для получения конкретного значения массы второго спутника.