Какую работу совершил человек, сдвигая гири на вращающемся столике? Когда гири были на расстоянии l1 = 150 см друг

Zhuchka

27

Человек совершил работу, сдвигая гири на вращающемся столике. Чтобы понять, какая именно работа была совершена, необходимо вспомнить основное определение работы в физике.

Работа (W) определяется как произведение силы (F), приложенной к телу, и перемещения (d), произошедшего под действием этой силы. Так как в данной задаче гири сдвигаются на вращающемся столике, мы можем рассмотреть работу, которую совершает человек, чтобы изменить расстояние между гири.

Для начала, обратимся к формуле для момента инерции (I):

\[I = m \cdot r^2\]

Здесь m - масса гири, а r - расстояние гири от оси вращения (в данном случае от центра столика). Поскольку гири одинаковы по массе и их расстояния от оси вращения меняются, моменты инерции гир будут различными.

Для расстояния l1 = 150 см, момент инерции гири равен:

\[I_1 = m \cdot l_1^2\]

Для расстояния l2 = 80 см, момент инерции гири равен:

\[I_2 = m \cdot l_2^2\]

Далее, рассмотрим закон сохранения момента импульса, который гласит, что сумма моментов импульса до и после изменения системы остается постоянной.

Момент импульса (L) определяется как произведение момента инерции (I) и угловой скорости (ω):

\[L = I \cdot \omega\]

Таким образом, для системы с двумя гири и столиком, момент импульса до изменения системы (L1) равен:

\[L1 = I_1 \cdot \omega_1\]

где ω1 - угловая скорость столика при расстоянии l1.

После сближения гир до расстояния l2, момент импульса системы (L2) будет равен:

\[L2 = I_2 \cdot \omega_2\]

где ω2 - угловая скорость столика при расстоянии l2.

Закон сохранения момента импульса позволяет нам сделать следующее уравнение:

\[L1 = L2\]

\[I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2\]

Теперь мы можем рассмотреть отношение угловых скоростей ω1 и ω2:

\[\frac{ω1}{ω2} = \frac{I_2}{I_1}\]

Так как масса гир одинакова, получаем:

\[\frac{ω1}{ω2} = \frac{l_2^2}{l_1^2}\]

Поскольку момент инерции человека относительно оси столика постоянен, отсюда следует, что угловая скорость столика изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния гир от оси вращения.

Теперь, чтобы найти работу совершенную человеком, мы можем воспользоваться формулой для кинетической энергии (К), которая определяется как половина произведения момента инерции (I) и квадрата угловой скорости (ω):

\[K = \frac{1}{2} I \cdot \omega^2\]

Следовательно, работа, которую совершил человек, будет равна изменению кинетической энергии системы:

\[W = K2 - K1\]

\[W = \frac{1}{2} I_2 \cdot \omega_2^2 - \frac{1}{2} I_1 \cdot \omega_1^2\]

Подставим значение отношения угловых скоростей и моментов инерции:

\[W = \frac{1}{2} I_2 \cdot \left(\frac{ω1}{ω2}\right)^2 \cdot \omega_2^2 - \frac{1}{2} I_1 \cdot \omega_1^2\]

\[W = \frac{1}{2} I_2 \cdot \left(\frac{l_2^2}{l_1^2}\right) \cdot \omega_2^2 - \frac{1}{2} I_1 \cdot \omega_1^2\]

Теперь мы можем подставить значения из условия задачи:

l1 = 150 см = 1.5 м

l2 = 80 см = 0.8 м

ω1 = 1 с⁻¹

ω2 = 1.5 с⁻¹

m = 2 кг

Заметим, что радиусы гир не участвуют в данной задаче, так как момент инерции считается от центра масс (оси вращения).

Продолжим подстановку:

\[W = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot l_2^2 \cdot \frac{ω1^2}{ω2^2} \cdot ω_2^2 - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot l_1^2 \cdot ω_1^2\]

\[W = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (0.8)^2 \cdot \frac{(1)^2}{(1.5)^2} \cdot (1.5)^2 - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (1.5)^2 \cdot (1)^2\]

\[W = 0.1135 Дж\]

Таким образом, человек совершил работу в размере 0.1135 Дж, сдвигая гири на вращающемся столике.