Какова масса Юпитера, если его радиус составляет 71400 км, а ускорение свободного падения на Юпитере равно 25,8 м/с²?

Сладкий_Ассасин

55

Для решения этой задачи мы можем использовать закон тяготения Ньютона. Согласно этому закону, сила притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Мы знаем, что ускорение свободного падения на Юпитере составляет 25,8 м/с². Это ускорение вызвано силой тяготения, которая обусловлена массой Юпитера и расстоянием от его центра до поверхности. В данной задаче мы ищем массу Юпитера, поэтому нам нужно подставить известные значения в формулу и решить ее.

Формула для силы тяготения выглядит следующим образом:

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Где:
- \(F\) - сила тяготения,
- \(G\) - гравитационная постоянная,
- \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел (в данной задаче масса Юпитера и масса объекта, падающего на его поверхность),
- \(r\) - расстояние между центрами этих тел.

Мы можем опустить объект, падающий на Юпитер, и просто использовать силу тяготения равную его весу, так как масса объекта слишком мала по сравнению с массой Юпитера. Потому массой объекта можно принебречь.

Теперь мы можем записать уравнение с учетом известных значений:

\[F = m \cdot a\]

Где:
- \(F\) - сила тяготения,
- \(m\) - масса Юпитера,
- \(a\) - ускорение свободного падения на Юпитере.

Так как формула для силы тяготения и формула для силы \(F = ma\) одинаковы, мы можем приравнять их:

\[G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} = m \cdot a\]

Подставляем известные значения:

\[G \cdot \frac{{m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{Юпитера}}}}{{r^2}} = m_{\text{Юпитера}} \cdot a_{\text{Юпитера}}\]

где \(m_{\text{Земли}}\) - масса Земли.

Теперь выразим массу Юпитера:

\[m_{\text{Юпитера}} = \frac{{G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{Юпитера}}}}{{r^2}} \cdot a_{\text{Юпитера}}\]

Разделим обе стороны на \(G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot a_{\text{Юпитера}}\):

\[1 = \frac{{G \cdot m_{\text{Юпитера}}}}{{r^2}}\]

Теперь выразим массу Юпитера:

\[m_{\text{Юпитера}} = \frac{{r^2}}{{G}}\]

Подставим значения:

\[m_{\text{Юпитера}} = \frac{{(71400 \, \text{км})^2}}{{G}}\]

Мы видим, что в формуле осталась гравитационная постоянная \(G\), которую мы должны заменить численным значением. \(G\) равно \(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2\).

Подставим значение \(G\) и решим задачу:

\[m_{\text{Юпитера}} = \frac{{(71400 \, \text{км})^2}}{{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2}}\]

Выполняем вычисления и получаем:

\[m_{\text{Юпитера}} \approx 1.881136 \times 10^{27} \, \text{кг}\]

Таким образом, масса Юпитера составляет примерно \(1.881136 \times 10^{27}\) кг.